Vektoru izteikšana trijstūrī ar mediānām — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Aplūkosim vektoru izteikšanu trijstūrī.

Svarīgi!

Esi uzmanīgs, izsakot vektorus regulārā trijstūrī.

Labi zinām, ka regulāram trijstūrim visas malas ir vienāda garuma. Taču, ja uz trijstūra malām atliek vektorus, tie nav vienādi, jo to vērsumi nav vienādi.

Vektoru izteikšanā bieži vien izmanto mediānu īpašību.

Attēlā dots trijstūris \(ACB,\) kurā novilktas visas mediānas: \(AN\), \(CK\), \(BM\).

Mediāna - nogrieznis, kas trijstūra malas viduspunktu savieno ar pretējo virsotni.

Trijstūrī mediānas krustojas vienā punktā un krustpunktā dalās attiecībā \(2:1\) skaitot no virsotnes.

Izmantosim mediānu īpašību vektoru izteikšanā. Šajos uzdevumos nav svarīgi, vai trijstūris ir regulārs vai dažādmalu.

Piemērs:

\(ACB\) - regulārs trijstūris, kurā novilktas mediānas \(AN\), \(CK\), \(BM\). Dots, ka

\vec{BA} = \vec{a}

\vec{AC} = \vec{b}

. Izsaki vektoru

\vec{BO}

ar dotajiem vektoriem.

Risinājums

Atzīmējam vektorus. Meklējam trijstūri, kas satur dotos vektorus un vektoru

\vec{BO}

Tāds trijstūris ir \(AMB\).

1) Izsaka

\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{b}

\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}

pēc vektoru saskaitīšanas trijstūra likuma.

\begin{array}{l} \vec{BO} = \frac{2}{3} \vec{BM} = \frac{2}{3} (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \vec{b} \\ \vec{BO} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} \end{array}

Jautājums, vai trijstūrī var izmantot vektoru saskaitīšanas paralelograma likumu?

Pieņemsim, dotie vektori iziet no vienas trijstūra virsotnes. Jāizsaka vektors, kas atrodas uz tās mediānas, kas iziet no šīs pašas virsotnes.

Šajā gadījumā ir izdevīgi konstruēt paralelogramu. Mediāna ir puse no paralelograma diagonāles, kas ir abu vektoru summa.

Izpēti dotos zīmējumus!

Piemērs:

Dots trijstūris \(ACB\),

\vec{AC} = \vec{k}, \vec{BC} = \vec{n}

, izsaki vektoru

\vec{OK}

1. Risinājums

Izmantosim paralelograma likumu.

Papildinot doto trijstūri līdz paralelogramam, var izteikt vektoru

\vec{CK}

\vec{CK} = \frac{- \vec{k} + (- \vec{n})}{2}

\begin{array}{l} \vec{OK} = \frac{1}{3} \vec{CK} \\ \vec{OK} = \frac{- \vec{k} - \vec{n}}{6} \end{array}

2. Risinājums

Izmantosim trijstūra likumu.

\begin{array}{l} \vec{BA} = \vec{n} + (- \vec{k}) = \vec{n} - \vec{k} \\ \vec{BK} = \frac{\vec{n} - \vec{k}}{2} \end{array}

Aplūko trijstūri \(BKC\), jo tas satur dotos un izsakāmo vektoru.

\begin{array}{l} \vec{BC} + \vec{CK} = \vec{BK} \\ \vec{n} + \vec{CK} = \frac{\vec{n} - \vec{k}}{2} \end{array}

No izteiksmes izsaka

\vec{CK}

\begin{array}{l} \vec{CK} = \frac{\vec{n} - \vec{k}}{2} - \vec{n} \\ \vec{CK} = \frac{\vec{n} - \vec{k}}{2} - {\frac{\vec{n}}{1}}^{(\cdot 2} \\ \vec{CK} = \frac{\vec{n} - \vec{k} - 2 \vec{n}}{2} \\ \vec{CK} = \frac{- \vec{k} - \vec{n}}{2} \\ \vec{OK} = \frac{1}{3} \vec{CK} = \\ \vec{OK} = \frac{- \vec{k} - \vec{n}}{6} \end{array}

Protams, abos risinājumos ieguvām vienu un to pašu atbildi. Izvērtē, kurš risinājums Tev likās vieglāks!

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

3. Vektoru izteikšana trijstūrī ar mediānām

Teorija