2. Vektoru izteikšana regulārā sešstūrī

Interesanta plaknes figūra, lai vingrinātos darbības ar vektoriem, ir regulārs sešstūris.
Zināms, ka regulārā sešstūrī
  • malas pa pāriem ir vienāda garuma un paralēlas;
  • garākās diagonāles ir puse ir vienāda ar tai paralēlās malas garumu;
  • garākā diagonāle ir paralēla ar divām no malām.
Ir pierasts, ka regulāra sešstūra visas malas ir vienāda garuma, taču visi vektori, kas atlikti uz malām, nav vienādi, jo virzieni atšķiras.  Attēlā ar krāsām parādīti vienādie vektori.
Vektori ir vienādi, ja vienādi to (moduļi) garumi un vērsumi (virzieni).
YCIND_210723_5361_3.svg
Izvēlamies divus vektorus a→ un b→. 
Viegli secināt, ka, piemēram,
BO→=b→EF→=a→FA→=−b→OD→=−a→
 
Izteiksim garās diagonāles vektoru, kas vienādi vērsts ar doto vektoru:
DA→=2a→
 
Mazliet grūtāk izteikt vektoru, kurš ir pretēji vērsts ar doto vektoru:
AD→=−2a→
 
Kā ar dotajiem vektoriem iegūt sarkanās krāsas vektoru?
YCIND_210723_5361_4.svg
Redzam, ka sarkanās krāsas vektors ir doto vektoru summa pēc paralelograma likuma.
Ja divi vektori atlikti no viena punkta, tad summas vektors  iziet no vektoru kopīgā sākumpunkta un ir tāda paralelograma diagonāle, kura malas ir dotie vektori.
CO→=a→+b→ jeb CO→=b→+a→.
YCIND_210723_5361_6.svg
 
Tātad
CF→=2a→+b→=2b→+a→FC→=−CF→=−2a→+b→=−2b→+a→
 
Aplūkosim, kā var izteikt regulāra sešstūra īsāko diagonāli, atkarībā no dotajiem vektoriem.
Piemērs:
1) Izsaki DB→ ar vektoriem a→ un b→. 
YCIND_210723_5361_9.svg
Šis ir vienkāršs gadījums DB→=a→−b→, jo paralelogramā \(BCDO\) vektors DB→ savieno vektoru a→ un b→ galapunktus.
Kā zināms, saskaitot vektorus ar paralelogramam likumu, viena no diagonālēm ir vektoru summa, otra - starpība.
Lai vektorus atņemtu, tos atliek no viena sākumpunkta. Summas vektors savieno abu vektoru galapunktus un ir vērsts uz to vektoru, no kura atņem.
torija.svg
 
Ja īsāko diagonāli izvēlas citā vietā, uzdevums kļūst sarežģītāks.
 
Piemērs:
2) Izsaki vektoru FD→ ar vektoriem a→ un b→. 
YCIND_210723_5361_11.svg
Risināt var dažādi. Izteiksim vektoru, izmantojot trijstūra likumu.
Kuru trijstūri izvēlēties?
Meklējam vektorus, kas ir vienādi vai vienādi vērsti ar dotajiem vektoriem un atlikti viens otram galā.
Tas ir trijstūris ADF. 
DA→ ir vienādi vērsts ar a→, pie tam DA→=2⋅a→, bet AF→=b→.
DA→+AF→=DF→DF→=−FD→FD→=−DA→+AF→FD→=−2a→+b→
 
Izmainīsim dotos vektorus.
Piemērs:
3) Izsaki DB→ ar a→ un b→.
uzvienupusi.svg
Šajā gadījumā DB→ ir vektoru a→ un b→ summa.
uzvienupusi2.svg
DB→=a→+b→=b→+a→ pēc vektoru saskaitīšanas trijstūra likuma:
Divus vektorus atliek secīgi vienu otram galā - pirmā vektora beigu punktā atliek otra vektora sākumpunktu. Summas vektors  savieno pirmā vektora sākumpunktu ar otrā vektora galapunktu.
 
Vingrinies portālā uzdevumus par regulāru sešstūri!
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Iepriekšējā teorija
Atgriezties tēmā
Nākamā teorija
Copyright © 2024 SIA Uzdevumi.lv Kontakti Lietošanas noteikumi Privātuma politika Sīkdatņu iestatījumi