Vektoru izteikšana taisnstūrī — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika I.

Svarīga prasme ir tādu vektoru izteikšana, kas atrodas uz paralelograma malām, diagonālēm vai citiem nogriežņiem.

Paralelograma īpašības

pretējās malas ir vienāda garuma un paralēlas;
diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm;

Aplūkosim piemērus ar taisnstūri.

Ievēro, ka visas aplūkotās darbības būtu spēkā arī paralelogramam, rombam un kvadrātam.

Vektoru izteikšanai parasti nav viens vienīgs risinājums. Pie atbildes var nonākt dažādos veidos.

Piemērs:

Dots taisnstūris $ABDC$.

\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AC} = \vec{b}

, tad

\vec{CD} = \vec{a}

\vec{DB} = - \vec{b}

Vektoru

\vec{AD}

var izteikt kā summu

ar paralelograma likumu $\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{AB} = \vec{b} + \vec{a}$ , jo šie vektori un prasītais vektors iziet no viena punkta;
ar trijstūra likumu $\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{b} + \vec{a}$ , jo šie vektori ir secīgi viens otram galā.

Ja dotais vektors ir vērsts virzienā, kas neatbilst saskaitīšanas likumiem, vektora virzienu var mainīt, izmantojot pretējo vektoru. Ja dotais vektors ir

\vec{a}

, tad tā pretējais vektors ir

- \vec{a}

. Attēlā redzams, ka ir mainīts virziens (sarkanais vektors), lai varētu lietot saskaitīšanas trijstūra likumu.

Izmainot dotos vektorus, mainās risinājums.

Piemērs:

Dots taisnstūris $ABDC$.

\vec{BA} = \vec{a}, \vec{BD} = \vec{b}

Izteiksim vektoru

\vec{AD}

Šajā gadījumā vektors

\vec{AD}

vairs nav doto vektoru summa, bet gan starpība.

\vec{AD} = \vec{BD} - \vec{BA} = \vec{b} - \vec{a}

, jo vektori iziet no viena punkta, bet prasītais vektors savieno to galapunktus.

Var rīkoties citādi- lietot saskaitīšanas trijstūra likumu, izmantojot

\vec{BA}

pretējo vektoru.

Tad

\vec{AD} = - \vec{BA} + \vec{BD} = - \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}

, jo šie vektori ir secīgi viens otram galā.

Aplūkosim situāciju, kad vektorus nevar izteikt ar vienu darbību

Piemērs:

Dots taisnstūris

A L CD

, $AM=MD$.

\vec{L C} = \vec{a}, \vec{L M} = \vec{b}

. Izsaki

\vec{AC}

Risinājums

Uzzīmē vektoru

\vec{AC}

Viens no risinājuma variantiem

1) Aplūkojam trijstūri $ALC$, jo tas satur divus no uzdevumā minētajiem vektoriem. Jāizsaka trešo vektoru:

\vec{A L}

2) Izmantosim trijstūri $ALM$, kur

\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{a}

, pēc trijstūra likuma var uzrakstīt:

\vec{L A} + \frac{1}{2} \vec{a} = \vec{b}

Izsakām

\vec{L A} = \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a}

, uzrakstām pretējo vektoru

\vec{A L} = - \vec{L A} = - (\vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a}) = \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}

3) Trijstūrī $ALC$, izpildās vektoru saskaitīšanas trijstūra likums:

$\vec{A L}$ galapunktā sākas vektors $\vec{L C}$ ,
vektors $\vec{AC}$ savieno pirmā vektora sākumpunktu ar otrā vektora galapunktu.

Tātad

\vec{AC} = (\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}) + \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{a} - \vec{b}

Vienkāršojot izteiksmi:

\vec{AC} = \frac{3}{2} \vec{a} - \vec{b} = 1,5 \vec{a} - \vec{b}

Solī 3) varēja izmantot paralelograma likumu, tad

\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{A L} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} = \frac{3}{2} \vec{a} - \vec{b}

Atbilde:

\vec{AC} = \frac{3}{2} \vec{a} - \vec{b} = 1,5 \vec{a} - \vec{b}

Iepriekšējā tēma

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

1. Vektoru izteikšana taisnstūrī

Teorija