Divu taišņu paralelitāte un perpendikularitāte — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Aplūkosim, kā nosaka divu taišņu savstarpējo novietojumu, ja taisnes uzdotas

ar vispārīgo vienādojumu;
ar vienādojumu $y=kx+b$;

Taišņu vienādojumi	Vispārīgie vienādojumi $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$	Vienādojumi ar virziena koeficientu $y = k_{1} x + b_{1}$ $y = k_{2} x + b_{2}$
Taisnes krustojas	$\frac{A_{1}}{A_{2}} \neq \frac{B_{1}}{B_{2}}$ Krustpunktu atrod: $\{\begin{cases} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0 \end{cases}$	$k_{1} \neq k_{2}$ Krustpunktu atrod: $\{\begin{cases} y = k_{1} x + b_{1} \\ y = k_{2} x + b_{2} \end{cases}$
Taisnes ir paralēlas	$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} \neq \frac{C_{1}}{C_{2}}$	$k_{1} = k_{2}$ un $b_{1} \neq b_{2}$
Taisnes sakrīt	$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}}$	$k_{1} = k_{2}$ un $b_{1} = b_{2}$
Taisnes ir perpendikulāras	$A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$	$k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ jeb $k_{1} = - \frac{1}{k_{2}}$

Pamatojums vispārīgā vienādojuma gadījumā

Taisnes ir paralēlas (vai sakrīt) tad un tikai tad, ja to normālvektori

\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1})

\vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2})

ir kolineāri (atrodas uz paralēlām taisnēm).

Kolineāru vektoru koordinātas ir proporcionālas. No tā iegūst paralelitātes nosacījumu

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}}

Taisnes ir perpendikulāras tad un tikai tad, ja to normālvektori

\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1})

\vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2})

ir perpendikulāri.

Perpendikulāru vektoru skalārais reizinājums ir $0$. No tā iegūst perpendikularitātes nosacījumu

A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0

Pamatojums, ja ir vienādojumi ar virziena koeficientu

Taisnes virziena koeficientu var izteikt kā

k = - \frac{A}{B}

(ja $B$ nav $0$).

Tad paralelitātes (vai sakrišanas) nosacījumu iegūst šādi:

\begin{array}{l} \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} \\ \Rightarrow \frac{A_{1}}{B_{1}} = \frac{A_{2}}{B_{2}} \\ \Rightarrow - \frac{A_{1}}{B_{1}} = - \frac{A_{2}}{B_{2}} \\ \Rightarrow k_{1} = k_{2} \end{array}

Taisnes ir paralēlas, ja to virziena koeficienti ir vienādi.

Ja taisnes sakrīt, tad to vienādojumi ar virziena koeficientu arī sakrīt:

k_{1} = k_{2}

b_{1} = b_{2}

Perpendikularitātes nosacījumu iegūst šādi:

\begin{array}{l} A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0 \\ \Rightarrow A_{1} A_{2} = - B_{1} B_{2} \\ \Rightarrow \frac{A_{1}}{B_{1}} \frac{A_{2}}{B_{2}} = - 1 \\ \Rightarrow k_{1} k_{2} = - 1 \\ k_{2} = - \frac{1}{k_{1}} \end{array}

Taisnes ir perpendikulāras, ja to virziena koeficienti ir savstarpēji pretēji un apgriezti.

Taisnes sakrīt tad un tikai tad, ja vienas vispārīgo vienādojumu var iegūt no otras vispārīgā vienādojuma, pareizinot to ar kādu nenulles konstanti