Punktu ģeometriskā vieta plaknē — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Vienādojumam ar mainīgajiem \(x\) un \(y\) plaknē atbilst līnija - visu to punktu kopa, kuru koordinātas apmierina doto vienādojumu.

Un otrādi - plaknes līnijai (punktu kopai) atbilst vienādojums ar mainīgajiem \(x\) un \(y\).

Lai pēc uzdevuma nosacījumiem sastādītu plaknes punktu kopas vienādojumu, jāatrod sakarība starp mainīgajiem \(x\) un \(y\) (\(x\) un \(y\) ir jebkura punkta koordinātas) un uzdevumā dotajām konstantēm (parametriem) un jāuzraksta šī sakarība vienādojuma veidā.

Kādas līnijas punktu kopu varam nosaukt arī par šo punktu ģeometrisko vietu.

Piemērs:

Uzraksti to plaknes punktu kopas vienādojumu, kuri atrodas vienādā attālumā no punktiem \(A(2;4) \)un \(B(4;6).\)

Risinājums

Pieņemsim, ka punkts \(M\) pieder pie dotās kopas (skat. zīm.). Tādā gadījumā \(|MA|=|MB|.\)

Uzrakstām abu nogriežņu garumu:

\begin{array}{l} |MA| = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} \\ |MB| = \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2}} \end{array}

Ja \(|MA|=|MB|,\) tad

\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} = \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2}}

Abas vienādojuma puses kāpinot kvadrātā, iegūst:

\begin{array}{l} {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = {(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} \\ x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 8 y + 16 = x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 12 y + 36 \\ - 4 x + 4 - 8 y + 16 = - 8 x + 16 - 12 y + 36 \\ - 4 x + 4 - 8 y + 16 + 8 x - 16 + 12 y - 36 = 0 \\ 4 x + 4 y - 32 = 0 \\ x + y - 8 = 0 \end{array}

Kopa, kuras punkti apmierina uzdevuma nosacījumu, ir taisne

x + y - 8 = 0

. Kā zināms, šī taisne ir nogriežņa \(AB\) vidusperpendikuls.

Punktu ģeometriskā vieta var veidoties no taisnēm vai taišņu nogriežņiem, kuri uzdoti ar aprakstu vai ar vienādojumu, piemēram:

\begin{array}{l} |x| - |y| = 5 \\ x^{2} - y^{2} = 0 \\ (x - 3) (y + 4) = 0 \end{array}

Punktu ģeometriskā vieta var būt otrās kārtas līnija.

Vienkāršākā otrās kārtas līnija ir riņķa līnija, tās kanoniskais vienādojums ir

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2}

, kur

(x_{0}; y_{0})

ir r. l. centra koordinātas un \(R\) ir rādiuss.

Skolas kursā esam mācījušies otrās kārtas līnijas - parabolas vienādojumu

y = a x^{2} + bx + c

. Zinām, ka šādā veidā dotas parabolas zari ir vēsti uz augšu (ja \(a>0\)) vai uz leju (ja \(a<0\)).

Ievēro, ka parabolas vienādojumu var uzrakstīt arī citādāk, piemēram, vienādojums

y = 3 x^{2} + 5

var būt dots šādi:

y - 3 x^{2} = 3

Ja parabolas vienādojumā kvadrātā kāpināts nevis mainīgais \(x\), bet mainīgais \(y\), tas nozīmē, ka parabolas zari būs vērsti pa labi vai pa kreisi. Pamatskolas matemātikas kursā tādas parabolas neaplūko, jo šī sakarība nav funkcija (vienai argumenta vērtībai atbilst divas funkcijas vērtības). Piemēram, parabola

x = y^{2} - 4

. Skat zīmējumā.

Augstākajā matemātikā par parabolu sauc plaknes punktu kopu, kuru attālums līdz fiksētam punktam (fokusam) ir vienāds ar attālumu līdz dotajai taisnei (direktrisei). Līdz ar to parabolas vienādojums ir sarežģītāks un ietver lielumus, kurus mēs matemātika II kursā neprotam.

Pazīstams ir arī otrās kārtas līnijas - hiperbolas vienādojums. parasti hiperbolu pieraksta

y = \frac{a}{x}, a \neq 0

, tomēr to var izteikt, piemēram,

x \cdot y = a, a \neq 0

Arī hiperbolas vispārīgo vienādojumu nosaka sarežģīti parametri, kurus apgūsi, studējot augstskolā.

Matemātikā pazīstama ir arī otrās kārtas līnija, kuru sauc par elipsi, līdzīga riņķa līnijai tikai nedaudz "saspiesta". Elipses vienādojuma parametri ir saistīti ar elipses diviem fokusiem. Ja ir interese, patstāvīgi atrodi informāciju par parabolas, hiperbolas un elipses vispārīgo vienādojumu.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

2. Punktu ģeometriskā vieta plaknē

Teorija