Riņķa līnijas kanoniskais vienādojums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Par riņķa līniju sauc visu to plaknes punktu kopu, kuri atrodas vienādā attālumā no dota plaknes punkta (riņķa līnijas centra).

Riņķa līnijai, kuras centrs sakrīt ar koordinātu sākumpunktu, bet rādiuss ir vienāds ar \(R\), vienādojums ir

x^{2} + y^{2} = R^{2}

Noskaidrosim, kā iegūt šādu vienādojumu.

Uzrakstīsim vienādojumu visiem tiem plaknes punktiem, kuru attālums līdz koordinātu sākumpunktam ir \(R\) vienības.

No dotā nosacījuma izriet, ka jebkuram meklējamās kopas punktam \(M(x;y)\) ir pareiza vienādība \(|OM|=R\)

Nogriežņa \([OM]\) galapunkti ir \(O(0\)\(;0)\) un \(M(\)\(x;y)\)

Uzrakstām nogriežņa \([OM]\) garumu:

\begin{array}{l} |OM| = \sqrt{{(x - 0)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} \\ |OM| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \end{array}

Pēc dotā \(|OM|=R\)

Tātad

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = R

Abas vienādojuma puses kāpinot kvadrātā, iegūst tādas riņķa līnijas vienādojumu, kuras centrs ir \((0;0)\) un rādiuss \(R\):

x^{2} + y^{2} = R^{2}

Riņķa līnijai ar centru

A (x_{0}; y_{0})

un rādiusu

R

vienādojums ir

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2}

. Šo vienādojumu sauc par riņķa līnijas kanonisko vienādojumu.

Kanonisko vienādojumu iegūst līdzīgi, kā iepriekš, tikai tā atšķirība, ka rēķinām garumu nogrieznim \([AM].\)

Nogriežņa \([AM]\) galapunkti ir

A (x_{0}; y_{0})

un \(M(x;y).\)

|AM| = \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}

Pēc dotā attālums starp \(A\) un \(M\) ir rādiuss \(R,\) tātad

\begin{array}{l} \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} = R \\ {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2} \end{array}

Esam ieguvuši riņķa līnijas kanonisko vienādojumu.

Piemērs:

Uzraksti vienādojumu riņķa līnijai, kuras centrs ir

A (2; - 1)

un rādiuss

R = 2

Risinājums

Izmantojot dotos lielumus, uzrakstām kanonisko vienādojumu:

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = R^{2}

\begin{array}{l} {(x - 2)}^{2} + {(y - (- 1))}^{2} = 2^{2} \\ {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4 \end{array}

Dotā otrās kārtas līkne - riņķa līnija redzama zīmējumā.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

3. Riņķa līnijas kanoniskais vienādojums