Lineāras izteiksmes ar vektoriem — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Vektora reizināšanai ar skaitli piemīt šādas īpašības:
1)

k_{1} \cdot (k_{2} \cdot \vec{a}) = (k_{1} \cdot k_{2}) \cdot \vec{a}

k_{1} \cdot \vec{a} + k_{2} \cdot \vec{a} = (k_{1} + k_{2}) \cdot \vec{a}

k \cdot \vec{a} + k \cdot \vec{b} = k \cdot (\vec{a} + \vec{b})

Tāpēc ar izteiksmēm, kuros ir vektoru saskaitīšana, atņemšana un reizināšana, var darboties tāpat kā parastajā algebrā.

Piemērs:

Vienkāršot izteiksmi

2 (\vec{a} - \vec{b}) + (2 \vec{b} - \vec{a})

2 (\vec{a} - \vec{b}) + (2 \vec{b} - \vec{a}) = 2 \vec{a} - 2 \vec{b} + 2 \vec{b} - \vec{a} = \vec{a}

Domās, bet vajadzības gadījumā var arī uz papīra, norādīt katru no īpašībām.

Vispirms atver abas iekavas (3. īpašība):

2 (\vec{a} - \vec{b}) = 2 \vec{a} - 2 \vec{b}

(2 \vec{b} - \vec{a}) = 2 \vec{b} - \vec{a}

.
Savelk kopā līdzīgos saskaitāmos un vienkāršo (2. īpašība):

\begin{array}{l} 2 \vec{a} - 2 \vec{b} + 2 \vec{b} - \vec{a} = \\ = (2 - 1) \vec{a} + (- 2 + 2) \vec{b} = \\ = 1 \vec{a} + 0 \vec{b} = \\ = \vec{a} + \vec{0} = \\ = \vec{a} \end{array}

(nulles vektora pieskaitīšana neko nemaina).

Piemērs:

Vienkāršot izteiksmi

\vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{b} - 2 \vec{a})

\vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{b} - 2 \vec{a}) = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b}

(Domās)
Atver iekavas (izmanto 3. un 1. īpašību):

\begin{array}{l} \frac{1}{2} (\vec{b} - 2 \vec{a}) = \\ = \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \cdot 2 \vec{a} = \\ = \frac{1}{2} \vec{b} - (\frac{1}{2} \cdot 2) \vec{a} \\ = \frac{1}{2} \vec{b} - 1 \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} \end{array}

Savelk kopā līdzīgos saskaitāmos:

\begin{array}{l} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} = \\ = (1 - 1) \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} = \\ = 0 \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} = \\ = \vec{0} + \frac{1}{2} \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{b} \end{array}

Atradi kļūdu?

8. Lineāras izteiksmes ar vektoriem