Funkcijas atvasinājuma definīcija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Svarīgs jēdziens, kas raksturo funkciju ir atvasinājums. Atvasinājums dod priekšstatu par to, cik strauji notiek izmaiņas procesos pie dažādiem argumentiem.

Aplūkosim funkciju $y=f(x)$ intervālā

[x_{0}; x_{0} + Δ x]

, kur

Δ x

ir argumenta pieaugums.

Funkcijas pieaugums šajā intervālā ir

Δ f (x_{0}) = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})

Sastādīsim funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību

\frac{Δ f (x_{0})}{Δ x}

Ar šo attiecību definē jēdzienu "funkcijas izmaiņas vidējais ātrums intervālā

[x_{0}; x_{0} + Δ x]

". Analoģiski fizikā definē jēdzienu "kustības vidējais ātrums kādā laika vienībā."

Tomēr, ja $f$ nav lineāra funkcija, attiecība

\frac{Δ f (x_{0})}{Δ x}

ir atkarīga no intervāla

[x_{0}; x_{0} + Δ x]

garuma: mainot

Δ x

, mainās

Δ f (x_{0})

un mainās arī šī attiecība. Tāpēc, lai noteiktu funkcijas izmaiņas ātrumu tieši punktā $x_0$, ir jāaplūko funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecība arvien mazākā intervālā

[x_{0}; x_{0} + Δ x]

, t. i., - jāatrod šīs attiecības robeža, kad intervāla garums

Δ x

tiecas uz nulli:

\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ f (x_{0})}{Δ x}

Par funkcijas atvasinājumu punktā $x_0$ sauc funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu šajā punktā, kad argumenta pieaugums tiecas uz nulli.

Funkcijas

y = f (x)

atvasinājumu visbiežāk apzīmē ar simbolu

f^{'} (x_{0})

, lasa "ef prim no $x$ nulles".

Funkcijas pieaugumu var apzīmēt ar

Δ y

, tad funkcijas atvasinājumu pieraksta:

y^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}

Funkcijas atvasinājuma atrašanu sauc par funkcijas atvasināšanu vai diferencēšanu.

No atvasinājuma definīcijas izriet, ka funkcijas $y=f(x)$ atvasinājumu argumenta vērtībai $x$ atrod pēc šāda algoritma:

1) nosaka argumenta pieaugumam $Δ x$ atbilstošo funkcijas pieaugumu $Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$ ;

2) sastāda $\frac{Δ y}{Δ x}$ (funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību) un vienkāršo to;

3) aprēķina šīs attiecības robežu, kad $Δ x \to 0$ .

$f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

Piemērs:

Atrast lineāras funkcijas $y = ax + b$ atvasinājumu $y^{'}$ , izmantojot atvasinājuma definīciju.

Risinājums.

1) nosaka argumenta pieaugumam $Δ x$ atbilstošo funkcijas pieaugumu:

$\begin{array}{l} Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = \\ = a (x + Δ x) + b - ax - b = \\ = \underline{ax} + a \cdot Δ x \underline{\underline{+ b}} \underline{- ax} - \underline{\underline{b}} = \\ = a \cdot Δ x \end{array}$

2) nosaka funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{a \cdot Δ x}{Δ x} = a$

3) aprēķina iegūtās attiecības robežu, kad $Δ x \to 0$ :

$y^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} a = a$

Tātad ${(ax + b)}^{'} = a$ .

Redzam, ka lineāras funkcijas atvasinājums ir konstants skaitlis visām $x$ vērtībām. Tātad lineāra funkcija $y = ax + b$ visos definīcijas apgabala punktos aug ar vienādu ātrumu (šo īpašību uzskatāmi ilustrē funkcijas grafiks - taisne).

Nākošos piemēros salīdzināsim kuba funkcijas un kvadrātfunkcijas izmaiņas ātrumu noteiktā punktā. Prognozē, kura funkcija aug straujāk!

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 93.lpp.-94. lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

2. Funkcijas atvasinājuma definīcija

Teorija