Funkcijas atvasinājuma definīcija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Svarīgs jēdziens, kas raksturo funkciju ir atvasinājums. Atvasinājums dod priekšstatu par to, cik strauji notiek izmaiņas procesos pie dažādiem argumentiem.

Aplūkosim funkciju $y=f(x)$ intervālā

[x_{0}; x_{0} + Δ x]

, kur

Δ x

ir argumenta pieaugums.

Funkcijas pieaugums šajā intervālā ir

Δ f (x_{0}) = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})

Sastādīsim funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību

\frac{Δ f (x_{0})}{Δ x}

Ar šo attiecību definē jēdzienu "funkcijas izmaiņas vidējais ātrums intervālā

[x_{0}; x_{0} + Δ x]

". Analoģiski fizikā definē jēdzienu "kustības vidējais ātrums kādā laika vienībā."

Tomēr, ja $f$ nav lineāra funkcija, attiecība

\frac{Δ f (x_{0})}{Δ x}

ir atkarīga no intervāla

[x_{0}; x_{0} + Δ x]

garuma: mainot

Δ x

, mainās

Δ f (x_{0})

un mainās arī šī attiecība. Tāpēc, lai noteiktu funkcijas izmaiņas ātrumu tieši punktā $x_0$, ir jāaplūko funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecība arvien mazākā intervālā

[x_{0}; x_{0} + Δ x]

, t. i., - jāatrod šīs attiecības robeža, kad intervāla garums

Δ x

tiecas uz nulli:

\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ f (x_{0})}{Δ x}

Par funkcijas atvasinājumu punktā $x_0$ sauc funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu šajā punktā, kad argumenta pieaugums tiecas uz nulli.

Funkcijas

y = f (x)

atvasinājumu visbiežāk apzīmē ar simbolu

f^{'} (x_{0})

, lasa "ef prim no $x$ nulles".

Funkcijas pieaugumu var apzīmēt ar

Δ y

, tad funkcijas atvasinājumu pieraksta:

y^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}

Funkcijas atvasinājuma atrašanu sauc par funkcijas atvasināšanu vai diferencēšanu.

No atvasinājuma definīcijas izriet, ka funkcijas $y=f(x)$ atvasinājumu argumenta vērtībai $x$ atrod pēc šāda algoritma:

1) nosaka argumenta pieaugumam $Δ x$ atbilstošo funkcijas pieaugumu $Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$ ;

2) sastāda $\frac{Δ y}{Δ x}$ (funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību) un vienkāršo to;

3) aprēķina šīs attiecības robežu, kad $Δ x \to 0$ .

$f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

Piemērs:

Atrast lineāras funkcijas $y = ax + b$ atvasinājumu $y^{'}$ , izmantojot atvasinājuma definīciju.

Risinājums.

1) nosaka argumenta pieaugumam $Δ x$ atbilstošo funkcijas pieaugumu:

$\begin{array}{l} Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = \\ = a (x + Δ x) + b - ax - b = \\ = \underline{ax} + a \cdot Δ x \underline{\underline{+ b}} \underline{- ax} - \underline{\underline{b}} = \\ = a \cdot Δ x \end{array}$

2) nosaka funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{a \cdot Δ x}{Δ x} = a$

3) aprēķina iegūtās attiecības robežu, kad $Δ x \to 0$ :

$y^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} a = a$

Tātad ${(ax + b)}^{'} = a$ .

Redzam, ka lineāras funkcijas atvasinājums ir konstants skaitlis visām $x$ vērtībām. Tātad lineāra funkcija $y = ax + b$ visos definīcijas apgabala punktos aug ar vienādu ātrumu (šo īpašību uzskatāmi ilustrē funkcijas grafiks - taisne).

Nākošos piemēros salīdzināsim kuba funkcijas un kvadrātfunkcijas izmaiņas ātrumu noteiktā punktā. Prognozē, kura funkcija aug straujāk!

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 93.lpp.-94. lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

2. Funkcijas atvasinājuma definīcija

Teorija