Kuba un kvadrātunkcijas atvasināšana pēc definīcijas — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Atvasinājums dod priekšstatu par funkcijas izmaiņas ātrumu. Aplūkosim divus piemērus, lai salīdzinātu kuba funkcijas un kvadrātfunkcijas izmaiņas ātrumu konkrētā punktā.

Piemērs:

Atrast funkcijas

y = x^{2}

atvasinājumu

f^{'} (x)

un aprēķināt

f^{'} (3)

, izmantojot atvasinājuma definīciju.

Risinājums.

1) nosaka argumenta pieaugumam $Δ x$ atbilstošo funkcijas pieaugumu:

$Δ y = {(x + Δ x)}^{2} - x^{2} = x^{2} + 2 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2} - x^{2} = 2 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}$

2) nosaka funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 x \cdot Δ x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x} = \frac{Δ x (2 x + Δ x)}{Δ x} = 2 x + Δ x$

3) aprēķina iegūtās attiecības robežu, kad $Δ x \to 0$ :

$y^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x) = 2 x + 0 = 2 x$

Tātad ${(x^{2})}^{'} = 2 x$ .

Aprēķina funkcijas atvasinājumu punktā $3$. Tā kā $f^{'} (x) = 2 x$ , tad $f^{'} (3) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Piemērs:

Atrast funkcijas $y = x^{3}$ atvasinājumu un aprēķināt $f^{'} (3)$ !

Risinājums.

1) nosaka argumenta pieaugumam

Δ x

atbilstošo funkcijas pieaugumu:

Δ y = {(x + Δ x)}^{3} - x^{3} = x^{3} + 3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - x^{3} = 3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3}

2) nosaka funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecību:

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3}}{Δ x} = \frac{Δ x (3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2})}{Δ x} = 3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2}

3) aprēķina iegūtās attiecības robežu, kad

Δ x \to 0

y^{'} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2}) = 3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} = 3 x^{2}

Tātad ${(x^{3})}^{'} = 3 x^{2}$ .

Aprēķina funkcijas atvasinājumu punktā $3$. $f^{'} (3) = 3 \cdot 3^{2} = 27$ .

Kā redzams no abiem piemēriem, funkcijas $y = x^{3}$ atvasinājums punktā $x_{0} = 3$ ir lielāks nekā funkcijas $y = x^{2}$ atvasinājums šajā punktā. No tā var secināt, ka funkcija $y = x^{3}$ punktā $x_{0} = 3$ aug ātrāk nekā funkcija $y = x^{2}$ .

Ne vienmēr funkcijas atvasina pēc definīcijas, jo tas ir sarežģīts un laikietilpīgs process. Biežāk to dara, izmantojot atvasināšanas formulas. Tomēr 12. klasē ir jāprot vienkāršu funkciju atvasināšana pēc definīcijas.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 93.lpp.-94. lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

3. Kuba un kvadrātunkcijas atvasināšana pēc definīcijas

Teorija