Atvasinājuma ģeometriskā interpretācija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Izmantojot priekšstatu par grafika pieskari, noskaidrosim, kāda ģeometriskā ilustrācija ir funkcijas $f(x)$ atvasinājumam punktā $x_0$.

Pieņemsim, ka zīmējumā attēlotā līnija ir nepārtrauktas funkcijas $y = f (x)$ grafiks.

ģeometriskā jēga.svg

Caur līnijas punktiem $M_{0}$ un $M$ novilksim taisni $M_{0} M$ . Šo taisni sauc par sekanti.

Ar $β$ apzīmēsim leņķi, ko šī sekante veido ar $Ox$ ass pozitīvo virzienu.

Pieņemsim, ka punkts $M$ pārvietojas pa līniju, tuvojoties punktam $M_{0}$ , kurš ir nekustīgs. Tādā gadījumā arī sekante mainās. Punktam $M$, nonākot punktā $M_{0}$ , sekante $M_{0} M$ kļūst par līnijas pieskari punktā $M_{0}$ . Pieņemsim, ka pieskare ar $Ox$ asi veido leņķi $α$ .

Apskatīsim taisnleņķa trijstūri $M_{0} MN$ .

Šajā trijstūrī leņķis ${MM}_{0} N$ = $β$ , piekatete $M_{0} N$ sakrīt ar argumenta pieaugumu, t.i., $M_{0} N$ = $Δ$ $x$, pretkatete $MN$ sakrīt ar funkcijas pieaugumu, t.i., $MN$ = $Δ$ $y$.

No sakarībām taisnleņķa trijstūrī seko, ka $tg β = \frac{MN}{M_{0} N} = \frac{Δ y}{Δ x}$ .

Ja $Δ x \to 0$ , tad punkts $M \to M_{0}$ , sekante $M_{0} M \to$ pieskari punktā $M_{0}$ , $β \to α, tg β \to tg α$ jeb $tg α = \lim_{Δ x \to 0} tg β = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = f^{'} (x_{0})$ .

Taisnes un $Ox$ ass pozitīvā virziena veidotā leņķa tangensu sauc par taisnes virziena koeficientu, to apzīmē ar $k$.

Tādejādi atvasinājuma ģeometriskā interpretācija ir sekojoša:

Funkcijas atvasinājums punktā

x_{0}

ir vienāds ar tās pieskares virziena koeficientu, kas novilkta funkcijas grafikam punktā

(x_{0}; f (x_{0}))

f^{'} (x_{0}) = k = tg α

Izmantojot atvasinājuma ģeometrisko interpretāciju, var iegūt (skat. nākamā teorijā) funkcijas grafika pieskares vienādojumu:

Funkcijas grafika pieskares vienādojums ir

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

jeb

y = y_{0} + tg α (x - x_{0})

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 99. lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

5. Atvasinājuma ģeometriskā interpretācija

Teorija