3. Funkcijas kritiskie punkti un ekstrēmi

Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(f(x)\) maksimuma punktu, ja šim punktam eksistē tāda apkārtne, ka visām \(x\) vērtībām no šīs apkārtnes ir spēkā nevienādība $f\left(x\right)\le f\left(x_0\right)$.

 

Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(f(x)\) minimuma punktu, ja šim punktam eksistē tāda apkārtne, ka visām \(x\) vērtībām no šīs apkārtnes ir spēkā nevienādība $f\left(x\right)\ge f\left(x_0\right)$.

 

Maksimuma un minimuma punktu kopīgs nosaukums ir ekstrēma punkti (latīņu vārds extremus nozīmē "galējs").

Kritiskajā punktā funkcijai var būt vai nu maksimums vai minimums, bet ir iespējams, ka kritiskajā punktā ekstrēma nav.

 

Piemēram, funkcijas $y=x^3$ atvasinājums $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$ ir vienāds ar nulli, ja  \(x\)\(=0\). Taču koordinātu sākumpunktā šai funkcijai nav ne maksimuma, ne minimuma. Argumenta vērtība \(x=0\) ir kritiskais punkts, bet nav ekstrēma punkts.

 

Lai punkts būtu funkcijas ekstrēma punkts, ir nepieciešams, lai tas būtu kritiskais punkts. Taču ne katrs kritiskais punkts ir ekstrēms.

 

Aplūkojot funkcijas $y=x^3$ grafiku, redzam, ka šīs funkcijas atvasinājums ir pozitīvs visām \(x\) vērtībām, tātad tā ir augoša visā savā definīcijas apgabalā. Neizpildās ekstrēma eksistences nepieciešamais nosacījums. Kritiskais punkts \(x=0\) nav ekstrēms.

Ekstrēma punkts (minimuma punkts vai maksimuma punkts) ir argumenta vērtība.

Ekstrēms (minimums vai maksimums) ir dotās funkcijas vērtība ekstrēma punktā.