Saliktas funkcijas atvasinājums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pieņemsim, ka funkcija \(y=f(g(x))\) ir salikta funkcija, kur \(y=f(u)\) un \(u=g(x).\)

Aplūkosim saliktas funkcijas formulu vispārīgā veidā.

Ja punktā x funkcijai \(u=g(x)\) eksistē atvasinājums un funkcijai \(y=f(u)\) eksistē atvasinājums punktā \(u=g(x)\), tad saliktai funkcijai \(y=f(g(x))\) eksistē atvasinājums punktā \(x\) un to atrod pēc formulas

{y_{x}}^{'} = {f_{u}}^{'} (u) \cdot {g_{x}}^{'} (x)

jeb

{y_{x}}^{'} = {y_{u}}^{'} \cdot {u_{x}}^{'}

Svarīgi!

Saliktas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar ārējās funkcijas atvasinājuma un iekšējās funkcijas atvasinājuma reizinājumu. Atvasināt sāk ar ārējo funkciju.

Pēc valsts standarta vidusskolas matemātikas padziļinātajā kursā jāprot atvasināt saliktu funkciju, kuras iekšējā funkcija ir lineāra funkcija*

\begin{array}{l} y = f (ax + b) \\ {y_{x}}^{'} = {(f (ax + b))}^{'} \cdot {(ax + b)}^{'} = {(f (ax + b))}^{'} \cdot a \end{array}

{y_{x}}^{'} = a \cdot {(f (ax + b))}^{'}

Aplūkosim saliktu funkciju atvasināšanas piemērus. Visos gadījumos iekšējā funkcija ir lineāra funkcija.

1) Ārējā funkcija - eksponentfunkcija ar bāzi \(e\)

\begin{array}{l} y = e^{2 x - 1} \\ y^{'} = {(e^{2 x - 1})}^{'} = e^{2 x - 1} \cdot {(2 x - 1)}^{'} = 2 e^{2 x - 1} \end{array}

2) Ārējā funkcija - sinusa funkcija

\begin{array}{l} y = \sin (4 x - \frac{π}{4}) \\ y^{'} = {(\sin (4 x - \frac{π}{4}))}^{'} = \cos (4 x - \frac{π}{4}) \cdot {(4 x - \frac{π}{4})}^{'} = 4 \cos (4 x - \frac{π}{4}) \end{array}

3) Ārējā funkcija - kosinusa funkcija

\begin{array}{l} y = \cos (\frac{π}{3} - 2 x) \\ y^{'} = {(\cos (\frac{π}{3} - 2 x))}^{'} = - \sin (\frac{π}{3} - 2 x) \cdot (- 2) = 2 \sin (\frac{π}{3} - 2 x) \end{array}

4) Ārējā funkcija - pakāpes funkcija

\begin{array}{l} y = {(ax + b)}^{5} \\ y^{'} = {({(ax + b)}^{5})}^{'} = 5 {(ax + b)}^{4} \cdot {(ax + b)}^{'} = 5 a {(ax + b)}^{4} \end{array}

5) Ārējā funkcija - naturāllogaritma funkcija

\begin{array}{l} y = \ln 3 x \\ y^{'} = {(\ln 3 x)}^{'} = \frac{1}{3 x} \cdot 3 = \frac{1}{x} \end{array}

Svarīgi!

Atvasināšanas formulas

\begin{array}{l} {(x^{α})}^{'} = α \cdot x^{α - 1} \\ {(e^{x})}^{'} = e^{x} \\ {(lnx)}^{'} = \frac{1}{x} \\ {(sinx)}^{'} = cosx \\ {(cosx)}^{'} = - sinx \end{array}

*Skat. dokumentu:

6. pielikums Ministru kabineta 2019. gada 3. septembra noteikumiem Nr. 416.

Plānotie skolēnam sasniedzamie rezultāti matemātikas mācību jomā. Augstākais apguves līmenis. Jaunajā standartā sasniedzamie rezultāti: 4.3. Funkcijas atvasinājums, integrālis

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 109.lpp.-112. lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!