Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Ja neizpildās vismaz viens no funkcijas nepārtrauktības nosacījumiem a) vai b), tad funkcija ir pārtraukta punktā \(x_0\) un šādus punktus sauc par funkcijas pārtraukuma punktiem.
 
Atceries!
a) Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja limΔx0Δfx0=0.
b) Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā  \(x_0\), ja ir spēkā vienādība limxx0fx=fx0.
Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(y=f(x\)) pārtraukuma punktu, ja izpildās vismaz viens no šādiem nosacījumiem:
1) funkcija nav definēta punktā \(x_0\);
 
2) funkcijai punktā \(x_0\) ir definēta, bet vienpusējās robežas nav vienādas: limxx0+0f(x)limxx00f(x);
 
3) funkcijai eksistē robeža, kad xx0, taču tā nav vienāda ar funkcijas vērtību punktā \(x_0\). limxx0fxfx0 jeblimxx0+0f(x)=limxx00f(x)fx0
 
Pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu, ja šajā punktā eksistē abas vienpusējās robežas un tās ir galīgas.
 
Pirmā veida pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par novēršamu, ja abas vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas: limxx0+0f(x)=limxx00f(x).
 
Pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par otrā  veida pārtraukuma punktu, ja vismaz viena no vienpusējām robežām, kad xx0, neeksistē vai ir bezgalīga.
Piemērs:
Pārtraukuma punkts 1 (1).svg
1. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo funkcija punktā \(x_0\) nav definēta.
Punkts \(x_0\) ir pirmā veida un novēršams pārtraukuma punkts, jo abas vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas:
Piemērs:
Pārtraukuma punkts 2.svg
2. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas nav vienādas: limxx0+0f(x)limxx00f(x).
Tas ir pirmā veida pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas ir galīgas.
Piemērs:
Pārtraukuma punkts 3.svg
3. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo funkcijai eksistē robeža, bet limxx0fxfx0. Tas ir pirmā veida, novēršams pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas: limxx0+0f(x)=limxx00f(x).
 
Ja funkcijai punktā \(x=a\) ir pārtraukums, tad, lai noskaidrotu pārtraukuma raksturu, jāatrod funkcijas robeža no kreisās puses un no labās puses, kad xa.
Piemērs:
Noskaidro pārtraukuma punkta veidu funkcijai y=2x32.
Atrisinājums.
Dotā funkcija nav definēta punktā x0=3, tātad tas ir funkcijas pārtraukuma punkts. Lai  noteiktu tā veidu, aprēķina vienpusīgās robežas, kad x3:
limx3+02x32=233+02=2+02=2+0=+
 
limx302x32=23302=202=2+0=+
 
Tā kā abas vienpusējās robežas ir bezgalīgas, punkts x0=3 ir dotās funkcijas otrā veida  pārtraukuma punkts. Otrā veida pārtraukuma punkts nevar būt novēršams.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
I. Volodko. Augstākā matemātika. Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Lekciju konspekts. 13. nodarbība.
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 85.lpp.-86. lpp.