Ja neizpildās vismaz viens no funkcijas nepārtrauktības nosacījumiem a) vai b), tad funkcija ir pārtraukta punktā \(x_0\) un šādus punktus sauc par funkcijas pārtraukuma punktiem.
Atceries!
a) Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja .
b) Funkciju \(y=f(x)\) sauc par nepārtrauktu punktā \(x_0\), ja ir spēkā vienādība .
Punktu \(x_0\) sauc par funkcijas \(y=f(x\)) pārtraukuma punktu, ja izpildās vismaz viens no šādiem nosacījumiem:
1) funkcija nav definēta punktā \(x_0\);
2) funkcijai punktā \(x_0\) ir definēta, bet vienpusējās robežas nav vienādas: ;
3) funkcijai eksistē robeža, kad , taču tā nav vienāda ar funkcijas vērtību punktā \(x_0\). jeb
Pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu, ja šajā punktā eksistē abas vienpusējās robežas un tās ir galīgas.
Pirmā veida pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par novēršamu, ja abas vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas: .
Pārtraukuma punktu \(x_0\) sauc par otrā veida pārtraukuma punktu, ja vismaz viena no vienpusējām robežām, kad , neeksistē vai ir bezgalīga.
Piemērs:
1. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo funkcija punktā \(x_0\) nav definēta.
Punkts \(x_0\) ir pirmā veida un novēršams pārtraukuma punkts, jo abas vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas:
Piemērs:
2. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas nav vienādas: .
Tas ir pirmā veida pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas ir galīgas.
Piemērs:
3. zīmējumā funkcijai \(x_0\) ir pārtraukuma punkts, jo funkcijai eksistē robeža, bet . Tas ir pirmā veida, novēršams pārtraukuma punkts, jo vienpusējās robežas ir galīgas un vienādas: .
Ja funkcijai punktā \(x=a\) ir pārtraukums, tad, lai noskaidrotu pārtraukuma raksturu, jāatrod funkcijas robeža no kreisās puses un no labās puses, kad .
Piemērs:
Noskaidro pārtraukuma punkta veidu funkcijai .
Atrisinājums.
Dotā funkcija nav definēta punktā , tātad tas ir funkcijas pārtraukuma punkts. Lai noteiktu tā veidu, aprēķina vienpusīgās robežas, kad :
Tā kā abas vienpusējās robežas ir bezgalīgas, punkts ir dotās funkcijas otrā veida pārtraukuma punkts. Otrā veida pārtraukuma punkts nevar būt novēršams.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
I. Volodko. Augstākā matemātika. Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Lekciju
konspekts. 13. nodarbība.
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 85.lpp.-86. lpp.