Grafika horizontālā un vertikālā asimptota — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Par asimptotu sauc taisni, kurai piemīt īpašība: līknes punkta attālums līdz šai taisnei tiecas uz nulli, ja punkts pārvietojas pa līkni uz bezgalību. Grafika asimptotas bieži vien ir koordinātu asis. Tās var noteikt, rēķinot robežu.

Grieķu valodā vārds asymptotos nozīmē "nesakrītošs".

Par funkcijas grafika horizontālo asimptotu sauc \(Ox\) asij paralēlu taisni, kuras vienādojums ir \(y=b\), ja

\lim_{x \to \infty} f (x) = b

Par funkcijas grafika vertikālo asimptotu sauc \(Oy\) asij paralēlu taisni, kuras vienādojums ir \(x=a\), ja

\lim_{x \to a} f (x) = \infty

Noteiksim funkcijas

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

asimptotas.

Aprēķinām funkcijas robežu, kad \(x\) tiecas uz bezgalību:

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{\infty} = 0

, pēc definīcijas taisne \(y=0\) ir horizontālā asimptota.

Aprēķinām funkcijas robežu, kad \(x\) tiecas uz nulli:

\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{0} = \infty

, pēc definīcijas taisne \(x=0\) ir funkcijas vertikālā asimptota.

Konstruējot funkcijas

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

grafiku, redzam, ka tiešām koordinātu asis ir šīs funkcijas asimptotas. Grafiks šīm taisnēm bezgalīgi tuvojas, bet nekad nepieskaras un arī nekrusto.

Piemērs:

Nosaki funkcijas

f (x) = \frac{1}{x - 2} + 3

grafika asimptotas!

Risinājums

Atrodam robežu

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{1}{\infty - 2} + 3 = \frac{1}{\infty} + 3 = 0 + 3 = 3

Tātad horizontālā asimptota ir \(y=3.\)

Funkcija nav definēta punktā \(x=2\). Noskaidrosim, vai šajā punktā funkcijas robeža ir bezgalība.

\lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{1}{2 - 2} + 3 = \frac{1}{0} + 3 = \infty + 3 = \infty

Tātad vertikālā asimptota ir \(x=2\).

Attēlā redzams funkcijas

f (x) = \frac{1}{x - 2} + 3

grafiks.

Vidusskolas standartā nav iekļauta prasme noteikt funkcijas asimptotas. Tomēr šī prasme var atvieglot funkcijas grafika konstruēšanu, tāpēc tā ir piedāvāta SKOLA2030 paraugprogrammā.

Slīpās asimptotas netiek rekomendētas.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 1. daļa. izm. 167- 169. lpp.

https://mape.skola2030.lv/resources/9482

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

2. Grafika horizontālā un vertikālā asimptota

Teorija