Nenoteiktība "0:0" — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

1. piemērs. Aprēķini robežu

\lim_{x \to 1} \frac{2 x^{2} + 8 x - 10}{x^{2} + x - 2}

Ievietojot \(x\) vietā skaitli \(1\), iegūst nenoteiktību

\lim_{x \to 1} \frac{2 x^{2} + 8 x - 10}{x^{2} + x - 2} = \frac{0}{0}

Nenoteiktībai

\frac{0}{0}

nav noteiktas skaitliskas vērtības. Šīs nenoteiktības robeža var būt bezgalība, nulle vai arī no nulles atšķirīgs skaitlis. ir iespējams, ka robeža neeksistē.

Svarīgi!

Viens no nenoteiktības

\frac{0}{0}

novēršanas paņēmieniem ir dotās daļveida izteiksmes saīsināšana, izdalot tās skaitītāju un saucēju ar izteiksmi, kuras robeža ir nulle.

Ja polinomā ievietojot \(x\) vērtību, iegūst \(0\), tas nozīmē, ka šis skaitlis ir šī polinoma sakne.

Aplūkosim polinomu, kas ir daļas skaitītājā

2 x^{2} + 8 x - 10

Ja \(x=1\) ir sakne, tad polinoms satur elementāro reizinātāju \((x-1). \)

\( \)

Arī saucējā \(x=1\) ir polinoma

x^{2} + x - 2

sakne un šis polinoms satur elementāro reizinātāju \((x-1). \)

Ja abus polinomus sadalīsim reizinātājos, tad daļu varēs saīsināt ar \((x-1). \)

Atceries:

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Polinoma saknes var atrast ar Vjeta teorēmu vai ar diskriminantu

Polinoma

2 x^{2} + 8 x - 10

saknes ir \(x=1\) un \(x= -5\)

Polinoma

x^{2} + x - 2

sakne ir \(x=1\) un \(x= -2\)

\begin{array}{l} \lim_{x \to 1} \frac{2 x^{2} + 8 x - 10}{x^{2} + x - 2} = (\frac{0}{0}) = \\ = \lim_{x \to 1} \frac{2 (x - 1) (x + 5)}{(x - 1) (x + 2)} = \\ = \lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 5)}{(x + 2)} = \frac{2 \cdot 6}{3} = 4 \end{array}

Nenoteiktības

\frac{0}{0}

, ja dotā funkcija ir polinomu dalījums, novēršana

Atrod skaitītāja un saucēja polinomu saknes.
Polinomus sadala reizinātājos.
Veic reizinātāju saīsināšanu.
Aprēķina funkcijas robežu.

2. piemērs

Saucēju sadala reizinātājos ar kvadrātu starpības formulu

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9} = (\frac{0}{0}) = \\ = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} = \\ = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{6} \end{array}

Eksistē vēl citas nenoteiktības, bet tās vidusskolas kursā nav jāskata.

\begin{array}{l} \infty - \infty \\ \infty \cdot 0 \\ 0^{0} \\ \infty^{0} \\ 1^{\infty} (e) \end{array}

Atsauce:

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, Jelgavas Tehnoloģiju vidusskolas matemātikas skolotāja

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

12. Nenoteiktība "0:0"

Teorija