Nenoteiktība "bezgalība:bezgalība" — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

1. piemērs. Aplūkosim robežu

\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 6 x - 8}{x^{2} + 3 x + 4}

.

Ja \(x\) vietā ievieto bezgalību, iegūst nenoteiktību

\lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 6 x - 8}{x^{2} + 3 x + 4} = \frac{\infty}{\infty}

Nenoteiktības

\frac{\infty}{\infty}

robeža var būt bezgalība, nulle vai arī no nulles atšķirīgs skaitlis.

Nenoteiktību uzdevumos vidusskolas saturā aplūko galvenokārt tikai funkcijas, kas ir izsakāmas kā divu polinomu dalījums.

Kā novērš nenoteiktību

\frac{\infty}{\infty}

, ja dotā funkcija ir polinomu dalījums.

Atrod vislielāko \(x\) pakāpi (\(n\)).
Izdala katru saskaitāmo saucējā un skaitītājā ar $x^{n}$ .
Izmanto īpašību, ka bezgalīgi lielas funkcijas apgrieztā funkcija ir bezgalīgi maza funkcija un tās robeža ir nulle. Tātad visi saskaitāmie, kur pēc noīsināšanas parādās $\frac{1}{x^{k}}$ , tiecas uz nulli. Saucējā un/vai skaitītājā paliek tikai atsevišķi skaitļi.
Nosaka robežu ar skaitļu aritmētikas palīdzību vai nepieciešamības gadījumā izmanto īpašību, ka $\frac{1}{0} = \infty$ .

1. piemēra risinājums:

\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 6 x - 8}{x^{2} + 3 x + 4} = (\frac{\infty}{\infty}) = \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} - \frac{8}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} = \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^{2}}} = \\ = \frac{2 + \frac{6}{\infty} - \frac{8}{\infty}}{1 + \frac{3}{\infty} + \frac{4}{\infty}} = \frac{2 + 0 - 0}{1 + 0 + 0} = 2 \end{array}

Ievēro pierakstu: kamēr ir \(x\), raksta "\(lim\)", kad ievieto \(x\) vērtību, tad "\(lim\)" vairs neraksta.

2. piemērs

\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} \frac{6 x - 8}{x^{2} + 3 x} = (\frac{\infty}{\infty}) = \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x^{2}} - \frac{8}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{2}}} = \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x}} = \\ = \frac{\frac{6}{\infty} - \frac{8}{\infty}}{1 + \frac{3}{\infty}} = \frac{0 - 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0 \end{array}

Ievēro, ka aritmētikā nulli ar skaitli var dalīt, rezultāts ir nulle.

3. piemērs

\begin{array}{l} \lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 6 x - 8}{3 x - 4} = (\frac{\infty}{\infty}) = \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}} - \frac{8}{x^{2}}}{\frac{3 x}{x^{2}} - \frac{4}{x^{2}}} = \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{\frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}} = \\ = \frac{2 + \frac{6}{\infty} - \frac{8}{\infty}}{\frac{3}{\infty} - \frac{4}{\infty}} = \frac{2 + 0 - 0}{0 - 0} = \frac{2}{0} = \infty \end{array}

Ja skaitli dala ar kaut ko ļoti mazu, mēs iegūstam kaut ko ļoti lielu.

Atsauce:

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, Jelgavas Tehnoloģiju vidusskolas matemātikas skolotāja

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!