10. Vienpusējas robežas definīcija

Definējot robežu limx→afx, pieņem, ka argumenta \(x\) vērtība var būt jebkurš skaitlis no punkta \(a\) apkārtnes: gan tāds, kas lielāks nekā skaitlis \(a\), gan arī tāds, kas ir mazāks nekā \(a\) (izņemot pašu skaitli \(a\)). Taču praksē pēta funkcijas izturēšanos gadījumos, ja arguments tiecas uz \(a\) tikai no vienas puses: no labās puses (tad \(x>a\)) vai no kreisās puses (tad \(x<a\)).
Funkcijas robežu, kad x→a un x>a, sauc par robežu no labās puses vai par labo robežu un raksta limx→a+0fx.
Funkcijas robežu, kad x→a un x<a, sauc par robežu no kreisās puses vai par kreiso robežu un raksta limx→a−0fx.
Piemērs:
Funkcija fx=4x
hiperbola.png
 
Abpusējās robežas var nolasīt no grafika. Taču tās var iegūt arī, izdarot loģiskus spriedumus.
 
limx→0−04x=−∞. Spriedumi: pozitīvu skaitli 4 dalot ar pēc patikas mazu negatīvu skaitli, iegūst pēc patikas lielu negatīvu skaitli.
 
limx→0+04x=+∞. Spriedumi: pozitīvu skaitli 4 dalot ar pēc patikas mazu pozitīvu skaitli, iegūst pēc patikas lielu pozitīvu skaitli.
Uzdevums.
Nosaki limx→0−0−1x un limx→0+0−1x.
  
Risinājums.
limx→0−0−1x=−1−0=+∞
 
limx→0+0−1x=−1+0=−∞
 
Lietderīgi ir aprēķināt arī robežas, kad \(x\) tiecas uz bezgalību. Arī šajā gadījumā apskata divas robežas, bet tās nav vienpusējās robežas.
limx→+∞−1x=−1+∞=−0, tātad grafiks tuvojas nullei (x asij) no apakšas.
limx→−∞−1x=−1−∞=+0, tātad grafiks tuvojas nullei (x asij) no augšas.
 
Skat. funkcijas fx=−1x grafiku
hipmin1dx.png
 
Rekomendācija. Labi uzdevumi par vienpusējām robežām atrodami grāmatā Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai 1. daļa. Zvaigzne ABC. 59. lpp.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, Jelgavas Tehnoloģiju vidusskolas matemātikas skolotāja
Iepriekšējā teorija
Atgriezties tēmā
Nākamā teorija
Copyright © 2024 SIA Uzdevumi.lv Kontakti Lietošanas noteikumi Privātuma politika Sīkdatņu iestatījumi