9. "Darbības" ar bezgalīgi lieliem lielumiem

 

Apskatīsim dažus spriedumus par "darbībām", kurās ir bezgalības jēdziens.

 

 

1. uzdevums. Hilberta vienīcā ir bezgalīgi daudz numuriņi. Kādu vakaru tie visi ir aizņemti. Uz viesnīcu atbrauc viesis, kuram steidzami vajag istabiņu. Ko darīt?

 

Atbilde: Visiem viesiem vajag pārvākties par vienu istabiņu tālāk. Tad pirmajam atbrīvosies istabiņa.

Šis piemērs ilustrē likumu: $\mathrm{\infty }+1=\mathrm{\infty }$.

 

2. uzdevums. Kas notiks, ja uz piepildīto Hilberta viesnīcu atbrauks bezgalīgi daudz jaunu viesu?

 

Atbilde: Cilvēkam 1. numuriņā liek pārvākties uz 2. numuriņu, cilvēkam 2. numuriņā liek pārvākties uz 4., cilvēkam 3. numuriņā liek pārvākties uz 6. numuriņu utt. paliks pāri bezgalīgi daudz brīvu vietu.

Piemērs ilustrē likumus:

 

Spēkā ir arī likums, ka $\mathrm{\infty }\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$

 

 

Kā loģiskie spriedumi par bezgalību palīdz noteikt funkciju robežas bez zīmēšanas?

 

$\underset{x\to 3}{\mathit{lim}}\left(5+\frac{2}{{\left(x-3\right)}^2}\right)=5+\frac{2}{{\left(3-3\right)}^2}=5+\frac{2}{0^2}=5+\frac{1}{0}=5+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$