Bezgalīgi mazi un bezgalīgi lieli lielumi — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Funkciju sauc par bezgalīgi mazu, kad

x \to a

, ja

\lim_{x \to a} f (x) = 0

Bezgalīgi mazas funkcijas sauc arī par bezgalīgi maziem lielumiem.

Funkciju sauc par bezgalīgu lielu, kad

x \to a

, ja

\lim_{x \to a} f (x) = \infty

Šādos gadījumos saka, ka funkcija ir bezgalīgi liels lielums.

Ir spēkā teorēma.

Bezgalīgi mazas funkcijas \(f(x)\) apgrieztā funkcija

\frac{1}{f (x)}

ir bezgalīgi liela funkcija.

\lim_{x \to a} f (x) = 0

, tad

\lim_{x \to a} \frac{1}{f (x)} = \infty

Bezgalīgi lielas funkcijas apgrieztā funkcija ir bezgalīgi maza funkcija.

\lim_{x \to a} f (x) = \infty

, tad

\lim_{x \to a} \frac{1}{f (x)} = 0

Izmantojot šo teorēmu robežu aprēķinos, parasti lieto nosacītus pierakstus:

\frac{1}{0} = \infty

\frac{1}{\infty} = 0

Vienkāršāk var teikt:

ja skaitli dala ar kaut ko ļoti lielu, iegūst kaut ko ļoti mazu,

ja skaitli dala ar kaut ko ļoti mazu, mēs iegūstam kaut ko ļoti lielu.

Jāatceras, ka dalīšana ar nulli nav definēta, bet simbols

\infty

nav skaitlis un ar šo simbolu nav definētas aritmētiskas darbības.

Izmantojot teorēmu, var aprēķināt robežas.

\lim_{x \to 0} (2 + \frac{1}{x^{2}}) = 2 + \frac{1}{0} = 2 + \infty = + \infty

\lim_{x \to + \infty} (2 + \frac{1}{x - 5}) = 2 + \frac{1}{+ \infty - 5} = 2 + \frac{1}{+ \infty} = 2 + 0 = 2

\lim_{x \to + \infty} (4 - \frac{2}{2^{x} + 1}) = 4 - \frac{2}{+ \infty} = 4 - 0 = 4

Atsauce:

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, Jelgavas Tehnoloģiju vidusskolas matemātikas skolotāja

Atradi kļūdu?

8. Bezgalīgi mazi un bezgalīgi lieli lielumi