6. Funkcijas robežas definīcija, kad x un f(x) tiecas uz bezgalību

Izmantojot iepriekšējās robežu definīcijas var izveidot definīcijas, kad gan funkcija, gan arguments ir bezgalīgi lieli.

Pieņemsim, ka argumenta vērtībām neierobežoti palielinoties, arī funkcijas vērtības neierobežoti palielinās. t.i.

f (x) \to \infty

, ja

x \to \infty

. Šādā gadījumā raksta:

\underset{x \to \infty}{limf (x)} = \infty

Lasa - "funkcijas \(f(x)\) robeža, \(x\) tiecoties uz bezgalību, ir bezgalība".

Funkcijas \(f(x)\) robeža ir bezgalība, kad

x \to \infty

, ja jebkuram pēc patikas lielam skaitlim

E

var atrast tādu pozitīvu skaitli

D

, ka visi \(x\) , kas pēc moduļa lielāki par \(D\) dos funkcijas vērtību, kas pēc moduļa lielāka par

E

Lietojot matemātiskās loģikas simbolus, definīciju var pierakstīt saīsināti:

\underset{x \to \infty}{limf (x)} = \infty \Leftrightarrow \forall E > 0 \exists D > 0

, ka

|x| > D \Rightarrow |f (x)| > E

Iespējamās situācijas:

\underset{x \to + \infty}{limf (x)} = + \infty

. Piemēram,

\underset{x \to + \infty}{\lim x} = + \infty

;

\underset{x \to + \infty}{\lim x^{2}} = + \infty

\underset{x \to - \infty}{limf (x)} = + \infty

. Piemēram,

\underset{x \to - \infty}{\lim {(\frac{1}{2})}^{x}} = + \infty

;

\underset{x \to - \infty}{\lim x^{2}} = + \infty

\underset{x \to + \infty}{limf (x)} = - \infty

. Piemēram,

\underset{x \to + \infty}{\lim \log_{0, 5} x} = - \infty

\underset{x \to - \infty}{limf (x)} = - \infty

. Piemēram,

\underset{x \to - \infty}{\lim x^{3}} = - \infty

Visos šajos gadījumos funkcijas vērtības modulis pārsniedz jebkuru lielu pozitīvu skaitli, ja vien atbilstošo argumenta vērtību modulis ir pietiekami liels.

Vidusskolas standartā ir prasība pierādīt robežas eksistenci ar robežas definīciju.

Piemērs:

Lietojot bezgalīgi lielas funkcijas robežas definīciju, pierādi, ka

\underset{x \to + \infty}{\lim 2 x} = + \infty

\begin{array}{l} \forall E > 0, \exists D > 0 : |x| > D \Rightarrow \\ |2 x| > E \\ 2 |x| > E \\ |x| > \frac{E}{2} \end{array}

Redzam, ka jebkuram

E

eksistē atbilstošs

D

, kur

D = \frac{E}{2}

Līdz ar to pierādījām, ka

\forall E > 0, \exists D > 0 : |x| > D = \frac{E}{2} \Rightarrow |2 x| > E

Tātad

\underset{x \to + \infty}{\lim 2 x} = + \infty

Atsauce:

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, Jelgavas Tehnoloģiju vidusskolas matemātikas skolotāja

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

6. Funkcijas robežas definīcija, kad x un f(x) tiecas uz bezgalību

Teorija