Funkcija y=k/x. Robežas un asimptotas — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Sakarību, kurā, pozitīvam neatkarīgam mainīgajam palielinoties, pozitīvais atkarīgais mainīgais tikpat reižu samazinās, sauc par apgriezto proporcionalitāti.

Funkcionālā sakarība starp mainīgajiem \(x\) un \(y\), kas izsakāma formā

y = \frac{a}{x}

ir apgrieztā proporcionalitāte.

Funkcijas

y = \frac{a}{x}

grafiks ir līkne, ko sauc par hiperbolu.

Īpašības:

\begin{array}{l} D (f) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty) \\ E (f) = (- \infty; 0) \cup (0; + \infty) \end{array}

Ja \(a > 0\), tad hiperbolas zari atrodas \(I\) un \(III\) kvadrantā, funkcija ir dilstoša (1. grafiks).

Ja \(a < 0\), tad hiperbolas zari atrodas \(II\) un \(IV\) kvadrantā, funkcija ir augoša (2. grafiks).

Lai konstruētu grafiku, sastāda vērtību tabulu, kurā izvēlas gan pozitīvus, gan negatīvus skaitļus.

Aplūkosim piemēru, kurā iepazīsimies arī ar jēdzieniem - robeža un asimptota.

Konstruē grafiku funkcijai \(y =\)

\frac{4}{x}

. Nosaki funkcijas robežas un asimptotas.

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(y\)	\(-1\)	\(-2\)	\(-4\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)

1. grafiks – dilstoša funkcija

Redzam, ka funkcijas grafiks ir bezgalīgs, mēģināsim to raksturot, izmantojot robežas jēdzienu.

Neierobežoti palielinoties argumenta \(x\) vērtībām (

x \to + \infty

), funkcijas vērtības kļūst arvien mazākas, tomēr tās nekad nesasniedz skaitli \(0\).

To var pierakstīt, izmantojot robežas jēdzienu:

\lim_{x \to + \infty} \frac{4}{x} = 0

Neierobežoti samazinoties argumenta \(x\) vērtībām (

x \to - \infty

), funkcijas vērtības kļūst arvien mazākas, tomēr tās nekad nesasniedz skaitli \(0\).

Tātad

\lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x} = 0

Ja argumenta \(x\) vērtības ir tuvu skaitlim \(0\) (

x \to 0

), tad funkcijas vērtības tiecas uz bezgalību, pie tam pretējos virzienos.

Pierakstīsim to, norādot, no kuras puses skaitlim \(0\) arguments \(x\) tuvojas:

\lim_{x \to + 0} \frac{4}{x} = + \infty

\lim_{x \to - 0} \frac{4}{x} = - \infty

Tas nozīmē, ka neierobežoti tuvojas \(Ox\) asij, kad

x \to \infty

un neierobežoti tuvojas \(Oy\) asij, kad

x \to 0

Taisni, kurai piemīt īpašība, ka kādas līknes punkta attālums līdz šai taisnei tiecas uz nulli, ja punkts pārvietojas pa līkni uz bezgalību, sauc par asimptotu.

Šajā piemērā \(Ox\) ass ir funkcijas horizontālā asimptota, bet \(Oy\) ass ir vertikālā asimptota.

Piemērs:

Konstruē grafiku funkcijai y =