Vienādojumu sistēmas atrisināšana ar palīgnezināmo — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Vienādojumu sistēmas. Palīgnezināmā izmantošana

Risinot vienādojumu sistēmas, dažreiz izdevīgi kādu mainīgo izteiksmi apzīmēt ar jaunu mainīgo, tādējādi iegūstot vienkāršāku vienādojumu sistēmu.

Ir tādas vienādojumu sistēmas, kurās vienā no rindiņām ir savstarpēji apgrieztas izteiksmes.

Piemērs:

\{\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{6} \\ x - y = 5 \end{cases}

Redzam, ka pirmajā rindiņā ir savstarpēji apgrieztas izteiksmes.

Ieviesīsim palīgnezināmo a:

\sqrt{\frac{x}{y}} = a \Rightarrow \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{a}

Jaunos lielumus ievieto sistēmas pirmajā rindiņā un, atrisinot kvadrātvienādojumu, iegūst

a

vērtības:

\begin{array}{l} a - \frac{1}{a} = \frac{5}{6} \\ \frac{a^{(6 a}}{1} - \frac{1^{(6}}{a} = \frac{5^{(a}}{6} \\ \frac{6 a^{2} - 5 a - 6}{6 a} = 0 \\ 6 a \neq 0 \\ 6 a^{2} - 5 a - 6 = 0 \\ a_{1} = - \frac{2}{3} \\ a_{2} = \frac{3}{2} \end{array}

Izmantojot palīgnezināmo, no vienas sistēmas var iegūt divas - vienkāršākas sistēmas.

\begin{array}{l} \underline{\{\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{6} \\ x - y = 5 \end{cases}} \\ 1) \\ \{\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} = - \frac{8}{12} \\ x - y = 5 \end{cases} \\ 2) \\ \{\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{3}{2} \\ x - y = 5 \end{cases} \end{array}

Pirmajai sistēmai nav atrisinājuma, jo saknes vērtība nevar būt negatīvs skaitlis.

Risina otro sistēmu, pirmās rindiņas abas puses kāpinot kvadrātā, izsakot

x

un ievietojot otrajā rindiņā:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{3}{2} \\ x - y = 5 \end{cases} \\ \{\begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{9}{4} \\ x - y = 5 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = \frac{9 y}{4} \\ \frac{9 y}{4} - y = 5 \end{cases} \\ ... \\ \{\begin{cases} x = 9 \\ y = 4 \end{cases} \end{array}

Vingrinies portālā!

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

8. Vienādojumu sistēmas atrisināšana ar palīgnezināmo

Teorija