Polinoma dalīšana ar polinomu — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Neīsta daļveida racionāla izteiksme ir tāda izteiksme, kuras skaitītāja polinomam ir tāda pati vai augstāka pakāpe, nekā saucēja polinomam. Piemēram,

\frac{x + 1}{x + 2}; \frac{x^{2} - 4 x}{x - 2}; \frac{x^{4} + 3}{x - 1}

Atceries, ka līdzīgi neīsta daļa ir daļskaitlis, kura skaitītājs ir tikpat liels vai lielāks kā saucējs.

Piemēram,

\frac{5}{5}; \frac{30}{5}; \frac{524}{9}

Katru neīstu daļu, veicot dalīšanas darbību, var pārveidot par veselu skaitli vai jauktu skaitli:

\frac{5}{5} = 1; \frac{30}{5} = 6; \frac{524}{9} = 58 \frac{2}{9}

Atcerēsimies, kā stabiņā dala skaitļus:

\begin{array}{l} 524 : 9 = 58 \\ \underline{- 45} \\ 74 \\ \underline{- 72} \\ 2 \end{array}

Redzam, ka dalījums ir \(58\) un atlikums ir \(2\).

Iegūto rezultātu var pārbaudīt:

524 \overset{?}{=} 58 \cdot 9 + 2

Dalījumu var uzrakstīt sekojoši:

524 = 58 + \frac{2}{9} = 58 \frac{2}{9}

Dalīt var ne tikai skaitļus, bet arī polinomus.

Jebkuriem diviem polinomiem \(P(x)\) un \(Q(x)\) vienmēr var viennozīmīgi atrast tādus polinomus \(S(x)\) un \(R(x\)), ka izpildās vienādība

P (x) = Q (x) \cdot S (x) + R (x)

, kur polinoma \(R(x)\) pakāpe ir mazāka nekā polinoma \(Q(x)\) pakāpe. Polinomu \(S(x)\) sauc par nepilno dalījumu, bet \(R(x)\) sauc par atlikumu.

Polinomu dalījumu var uzrakstīt kā polinoma un īstas algebriskas daļas summu:

\frac{P (x)}{Q (x)} = S (x) + \frac{R (x)}{Q (x)}

Ja atlikuma nav \((R(x)=0\)), tad saka, ka polinomi dalās bez atlikuma.

Polinomu dalīšanu veic analoģiski vairākciparu skaitļu dalīšanai.

Izdalīsim polinomus

(x^{2} - 5 x + 2) : (x - 2)

Risinājums.

Izvēlamies dalījuma polinoma locekļus tā, lai dalāmam polinomam katrā solī pazeminātos pakāpe.

\begin{array}{l} (x^{2} - 5 x + 2) : (x - 2) = x - 3 \\ \underline{- (x^{2} - 2 x)} \\ - 3 x + 2 \\ \underline{- (- 3 x + 6)} \\ - 4 \end{array}

1) Vispirms dalījumā izvēlas \(x\), jo

x (x - 2) = \underline{\underline{x^{2}}} - 2 x

Pēc pirmā soļa atlikumā paliek \(-3x\), nones lejā \(+2\).

2) Dalījumā izvēlas \(-3\), jo

- 3 (x - 2) = \underline{\underline{- 3 x}} + 6

Tālāk dalīšanu neturpina, jo atlikuma pakāpe ir zemāka par dalītāja pakāpi.

Izpildot dalīšanu

(x^{2} - 5 x + 2) : (x - 2)

, ieguvām nepilno dalījumu \(x-3\) un atlikumu \((\)\(-4)\).

Dalījumu var pierakstīt kā divu polinomu vienādību:

x^{2} - 5 x + 2 = (x - 2) (x - 3) - 4

Šo pierakstu var izmantot, lai pārbaudītu, vai dalīšana veikta pareizi.

Dalījumu var pierakstīt kā nepilnā dalījuma un īstas algebriskas daļas summu:

\frac{x^{2} - 5 x + 2}{x - 2} = x - 3 + \frac{- 4}{x - 2}

Piemērs:

Izpildi dalīšanas darbību

\frac{x^{2} - 3}{x - 3}

Risinājums.

Uzsākot dalīšanu, pieraksta arī trūkstošo \(x\) pakāpi, lai dalīšanā veidotos secīgi stabiņi.

\begin{array}{l} (x^{2} + 0 x - 3) : (x - 3) = x + 3 \\ \underline{- (x^{2} - 3 x)} \\ 3 x - 3 \\ \underline{- (3 x - 9)} \\ 6 \end{array}

Tātad dalījums ir \(x+3\), atlikums ir \(6.\)

Pierakstām dalījumu divos veidos:

x^{2} - 3 = (x + 3) (x - 3) + 6

\frac{x^{2} - 3}{x - 3} = x + 3 + \frac{6}{x - 3}

Vidusskolas kursā plānotais sasniedzamais rezultāts ir prasme polinomu izdalīt ar pirmās pakāpes binomu, izvēloties piemērotu attēlošanas veidu.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs

https://mape.skola2030.lv/resources/9482, 47.lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

3. Polinoma dalīšana ar polinomu

Teorija