Polinomu saīsināšana. Atkārtojums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pirms polinomu dalīšanas, ir lietderīgi paskatīties - varbūt doto neīsto algebrisko daļu var saīsināt.

Ievēro! Saīsināt var tikai tad, ja nav atlikuma - dalīšanas atlikums ir $0$. Ja zināms, ka, skaitītāju dalot ar saucēju, ir atlikums, tad saīsināšana nav iespējama.

Atlikumu viegli pārbaudīt ar Bezū teorēmu:

Dalot polinomu $P(x)$ ar binomu $(x-a)$, atlikumā iegūst $P(a) $, t. i., polinoma vērtību, ja $x=a$.

Piemēram,

(x^{2} + x - 12) : (x - 3)

izdalās bez atlikuma, jo

3^{2} + 3 - 12 = 0

. Pirms sākam polinomu dalīšanu, atceramies kādu no pamatskolas metodēm, kā dalāmo var sadalīt reizinātājos.

Polinomu dalīšana ir universāla metode. Ja vēlies, vari to lietot visos polinomu dalīšanas uzdevumos. Taču ne vienmēr tas būs racionāli.

Algebrisko daļu var saīsināt tikai tad, ja tās skaitītājam un saucējam ir kopīgi reizinātāji.

Lai saīsinātu daļu, skaitītāja un/vai saucēja polinomu sadala reizinātājos.

Polinomu var pārveidot par reizinājumu:

iznesot kopīgo reizinātāju pirms iekavām;
sadalot reizinātājos kvadrāttrinomu $a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ;
veicot grupēšanu;
izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas:

kvadrātu starpības formula

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

;

summas kvadrāta formula

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

;

starpības kvadrāta formula

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

;

kubu summas formula

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

;

kubu starpības formula

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

; u.c.

Aplūkosim piemērus, kuros var izdalīt polinomus, izmantojot saīsināšanu.

1. uzdevums. Izdali

(2 x^{2} + 4 x) : (x + 2)

Skaitītājā iznes pirms iekavām kopīgo reizinātāju $2x:$

\frac{2 x^{2} + 4 x}{x + 2} = \frac{2 x (x + 2)}{x + 2} = \frac{2 x \overset{1}{(x + 2)}}{\underset{1}{(x + 2)}} = 2 x

Atbilde: Dalījums ir $2$$x$, atlikumā $0$.

2. uzdevums. Izdali

(3 x^{3} - 9 x^{2}) : (3 - x)

Skaitītājā iznes pirms iekavām

3 x^{2}

, saucējā iznes pirms iekavām $(-1):$

\frac{3 x^{3} - 9 x^{2}}{3 - x} = \frac{3 x^{2} (x - 3)}{- 1 (x - 3)} = \frac{3 \overset{1}{x^{2} (x - 3)}}{- 1 \underset{1}{(x - 3)}} = \frac{3 x^{2}}{- 1} = - 3 x^{2}

Atbilde: Dalījums ir $(-$

3 x^{2}

), atlikumā $0$.

3. uzdevums. Izdali polinomus!

Skaitītāju uzraksta kā summas kvadrātu:

\frac{x^{2} + 4 x + 4}{2 x + 4} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{2 (x + 2)} = \frac{\overset{x + 2}{{(x + n)}^{2}}}{2 \underset{1}{(x + 2)}} = \frac{x + 2}{2} = \frac{1}{2} x + 1

Atbilde: Dalījums ir

\frac{x + 2}{2}

jeb

\frac{1}{2} x + 1

, atlikumā ir $0.$

4. uzdevums. Izdali

(x^{2} + x - 12) : (x - 3)

Skaitītāju sadala reizinātājos, izmantojot

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

\frac{x^{2} + x - 12}{x - 3} = \frac{(x - 3) (x + 4)}{x - 3} = x + 4

Aprēķina kvadrāttrinoma saknes:

\begin{array}{l} x^{2} + x - 12 = 0 \\ x_{1} = 3; x_{2} = - 4 \end{array}

Atbilde: Dalījums ir $x+4$, atlikumā $0$.

5. uzdevums. Izdali

(x^{3} + 1) : (x + 1)

Skaitītājā izmanto kubu summas formulu:

\frac{x^{3} + 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) (x^{2} - 1 x + 1^{2})}{x + 1} = x^{2} - x + 1

Atbilde: Dalījums ir

x^{2} - x + 1

, atlikumā $0$.

6. uzdevums. Izdali

(x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) : (x - 3)

Skaitītājā veic grupēšanu:

\begin{array}{l} \frac{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}{x - 3} = \frac{x^{2} (x - 3) - 1 (x - 3)}{x - 3} = \\ = \frac{(x^{2} - 1) (x - 3)}{x - 3} = x^{2} - 1 \end{array}

Atbilde: Dalījums ir

x^{2} - 1

, atlikumā $0.$

7. uzdevums. Izdali

(x^{4} - 1) : (x - 1)

Skaitītājā divas reizes izmanto kvadrātu starpības formulu:

\begin{array}{l} \frac{x^{4} - 1}{x - 1} = \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{x - 1} = \\ = \frac{(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)}{x - 1} = \\ = (x + 1) (x^{2} + 1) = x^{3} + x^{2} + x + 1 \end{array}

Atbilde: Dalījums ir

x^{3} + x^{2} + x + 1

, atlikumā $0.$

Visus dotos piemērus var atrisināt arī lietojot polinomu dalīšanas algoritmu.

Novērtē, kā vieglāk!

Vidusskolas kursā plānotais sasniedzamais rezultāts ir prasme polinomu izdalīt ar pirmās pakāpes binomu, izvēloties piemērotu attēlošanas veidu.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

https://mape.skola2030.lv/resources/9482, 47.lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

5. Polinomu saīsināšana. Atkārtojums

Teorija