Izteiksmju mākslīgi pārveidojumi — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Sadalot reizinātājos polinomu, dažreiz izmanto mākslīgus pārveidojumus:

Lai izdarītu šādus pārveidojumus, nepieciešama laba intuīcija un pieredze matemātikas uzdevumu risināšanā.

Piemērs:

Sadali reizinātājos

y^{2} - x y + 5 y - 2 x^{2} + 5 x

Risinājums

Varētu izmantot grupēšanas paņēmienu, bet polinomam ir tikai pieci locekļi (vajag pāra skaitu) un koeficients \(2\) ir tikai vienam no tiem.

Veiksim sekojošu pārveidojumu:

- x y = xy - 2 x y

\begin{array}{l} y^{2} \underline{- x y} + 5 y - 2 x^{2} + 5 x = \\ = y^{2} \underline{+ x y - 2 x y} + 5 y - 2 x^{2} + 5 x = \\ = y^{2} + x y - 2 x y - 2 x^{2} + 5 y + 5 x = \\ = y (y + x) - 2 x (y + x) + 5 (y + x) = \\ = (y - 2 x + 5) (y + x) \end{array}

Piemērs:

Sadali reizinātājos

4 z^{4} + 1

Risinājums

Redzam, ka šo polinomu varētu pārveidot par summas kvadrātu, ja vien būtu vēl viens saskaitāmais

+ 4 z^{2}

, jo

4 z^{4} + 4 z^{2} + 1 = {(2 z^{2} + 1)}^{2}

Varam izteiksmei pieskaitīt

+ 4 z^{2}

, to pašu arī atņemt:

\begin{array}{l} 4 z^{4} + 1 = \\ = 4 z^{4} + 1 \underline{\underline{+ 4 z^{2} - 4 z^{2}}} = \\ = 4 z^{4} \underline{\underline{+ 4 z^{2}}} + 1 \underline{\underline{- 4 z^{2}}} = \\ = (4 z^{4} \underline{\underline{+ 4 z^{2}}} + 1) \underline{\underline{- 4 z^{2}}} \\ = ({({2 z}^{2})}^{2} + {2 \cdot 2 z}^{2} + 1) - 4 z^{2} = \\ = {(2 z^{2} + 1)}^{2} - {(2 z)}^{2} \end{array}

Izmantojam kvadrātu starpības formulu

\begin{array}{l} {(2 z^{2} + 1)}^{2} - {(2 z)}^{2} = \\ = (2 z^{2} + 1 - 2 z) (2 z^{2} + 1 + 2 z) = \\ = (2 z^{2} - 2 z + 1) (2 z^{2} + 2 z + 1) \end{array}

Atbilde:

4 z^{4} + 1 = (2 z^{2} - 2 z + 1) (2 z^{2} + 2 z + 1)

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

3. Izteiksmju mākslīgi pārveidojumi