Kvadrātu starpības formulas lietojums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Jau no pamatskolas ir zināmas saīsinātās reizināšanas formulas

(1) Kvadrātu starpības formula: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
(2) Summas/starpības kvadrāta formula: $a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = {(a \pm b)}^{2} = (a \pm b) (a \pm b)$

Lai polinomu sadalītu reizinātājos, dažreiz izdevīgi lietot vienu, dažreiz - otru. Aplūkosim piemērus.

Piemērs:

Sadali reizinātājos izteiksmi

{(2 x + 5)}^{2} - {(x - 3)}^{2}

Risinājums

Lietosim (1) formulu:

\begin{array}{l} {(2 x + 5)}^{2} - {(x - 3)}^{2} = \\ = (2 x + 5 - (x - 3)) (2 x + 5 + (x - 3)) = \\ = (2 x + 5 - x + 3) (2 x + 5 + x - 3) = \\ = (x + 8) (3 x + 2) \end{array}

Atbilde:

{(2 x + 5)}^{2} - {(x - 3)}^{2} = (x + 8) (3 x + 2)

Skolēni dažreiz šādā piemērā lieto (2) formulu - atver iekavas.

Ja polinoms jāsadala reizinātājos, cenšas saglabāt esošās iekavas.

Intereses pēc, paskatīsimies, ko iegūtu, ja dotajā piemērā atvērtu iekavas.

\begin{array}{l} {(2 x + 5)}^{2} - {(x - 3)}^{2} = \\ = 4 x^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 5 x + 25 - (x^{2} - 2 \cdot 3 x + 9) = \\ = 4 x^{2} + 20 x + 25 - x^{2} + 6 x - 9 = \\ = 3 x^{2} + 26 x + 16 \end{array}

Atceramies, ka dotā izteiksme ir jāsadala reizinātājos.

Esam ieguvuši kvadrāttrinomu, kuru sadala reizinātājos, izmantojot kvadrātvienādojuma saknes.

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Atrisinām atbilstošo kvadrātvienādojumu:

\begin{array}{l} 3 x^{2} + 26 x + 16 = 0 \\ D = b^{2} - 4 ac = 26^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 484 \\ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 26 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{- 4}{6} = - \frac{2}{3} \\ x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 26 - 22}{2 \cdot 3} = \frac{- 48}{6} = - 8 \\ 3 x^{2} + 26 x + 16 = 3 (x + \frac{2}{3}) (x + 8) \\ 3 x^{2} + 26 x + 16 = (3 x + 2) (x + 8) \end{array}

Salīdzinot ar iepriekš iegūto sadalījumu reizinātājos, redzam, ka tie neatšķiras (iekavu secībai nav nozīmes).

Novērtē, kura metode ir vienkāršāka!

Līdzīgi rīkojas arī tad, ja dota kubu starpība vai summa.

Aplūkosim piemēru, kurā vispirms izmanto (2) formulu un tad (1) formulu.

Piemērs:

Sadali reizinātājos

y^{2} + 12 x y + 36 x^{2} - 4

Risinājums

\begin{array}{l} y^{2} + 12 x y + 36 x^{2} - 4 = \\ = y^{2} + 2 \cdot 6 \cdot x y + {(6 x)}^{2} - 4 = \\ = {(y + 6 x)}^{2} - 4 \end{array}

Redzam, ka šo izteiksmi var uzrakstīt kā kvadrātu starpību:

\begin{array}{l} {(y + 6 x)}^{2} - 4 = \\ = {(y + 6 x)}^{2} - 2^{2} = \\ = (y + 6 x - 2) (y + 6 x + 2) \end{array}

Atbilde:

y^{2} + 12 x y + 36 x^{2} - 4

$=$

(y + 6 x - 2) (y + 6 x + 2)

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

4. Kvadrātu starpības formulas lietojums