Augstāku pakāpju starpības sadalīšana reizinātājos — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Zinām, ka reizinātājos var sadalīt kvadrātu starpību un kubu starpību:

\begin{array}{l} a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) \\ a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) \end{array}

Ceturto pakāpju starpību viegli sadalīt reizinātājos, divas reizes pielietojot kvadrātu starpības formulu:

\begin{array}{l} a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) = \\ = (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2}) \end{array}

Līdzīgā veidā var sadalīt reizinātājos binomus

a^{2 n} - b^{2 n}

, ja kāpinātājs

n \in ℕ

Piemēram,

\begin{array}{l} a) a^{8} - b^{8} = (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2}) (a^{4} + b^{4}) \\ b) a^{10} - b^{10} = (a^{5} - b^{5}) (a^{5} + b^{5}) \end{array}

Sadalīsim reizinātājos sesto pakāpju starpību, vispirms pielietojot kvadrātu starpības formulu, tad kubu summas un starpības formulas:

\begin{array}{l} a^{6} - b^{6} = \\ = {(a^{3})}^{2} - {(b^{3})}^{2} = \\ = (a^{3} - b^{3}) (a^{3} + b^{3}) = \\ = (a - b) (a^{2} + a \cdot b + b^{2}) (a + b) (a^{2} - a \cdot b + b^{2}) = \\ = (a - b) (a + b) (a^{2} + a b + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2}) \end{array}

Var vispirms pielietot kubu starpības formulu:

\begin{array}{l} a^{6} - b^{6} = {(a^{2})}^{3} - {(b^{2})}^{3} = \\ = (a^{2} - b^{2}) ({(a^{2})}^{2} + a^{2} {\cdot b}^{2} + {(b^{2})}^{2}) = \\ = (a^{2} - b^{2}) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}) = \\ = (a - b) (a + b) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}) \end{array}

Tomēr jābūt ļoti uzmanīgiem. Šajā gadījumā izteiksme vēl nav sadalīta reizinātājos līdz galam. Pārveidosim un sadalīsim reizinātājos pēdējo iekavu

(a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4})

\begin{array}{l} a^{4} + \underline{a^{2} b^{2}} + b^{4} + \underline{a^{2} b^{2}} - a^{2} b^{2} = \\ = {a^{4} + 2 a}^{2} b^{2} + b^{4} - a^{2} b^{2} = \\ = {(a^{2} {+ b}^{2})}^{2} - a^{2} b^{2} = \\ = (a^{2} {+ b}^{2} - a b) (a^{2} {+ b}^{2} + a b) = \\ = (a^{2} {- a b + b}^{2}) (a^{2} {+ a b + b}^{2}) \end{array}

Ieguvām to pašu, ko sākumā lietojot kvadrātu starpības formulu, tikai daudz sarežģītākā veidā.

Varam secināt, ka kvadrātu starpības formulu lietot bija izdevīgāk:

a^{6} - b^{6} = {(a^{3})}^{2} - {(b^{3})}^{2}

Līdzīgā veidā var sadalīt reizinātājos binomus

a^{3 n} - b^{3 n}

Piemēram,

a^{9} - b^{9} = {(a^{3})}^{3} - {(a^{3})}^{3} = ...

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

5. Augstāku pakāpju starpības sadalīšana reizinātājos