Sesto pakāpju summas sadalīšana reizinātājos — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Zinām, ka reālos skaitļos nevar sadalīt reizinātājos kvadrātu summu, bet var sadalīt - kubu summu:

\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} = nav \\ a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) \end{array}

Sadalīsim reizinātājos sesto pakāpju summu, pielietojot kubu summas formulu

\begin{array}{l} a^{6} + b^{6} = {(a^{2})}^{3} + {(b^{2})}^{3} = \\ = (a^{2} + b^{2}) ({(a^{2})}^{2} - a^{2} {\cdot b}^{2} + {(b^{2})}^{2}) = \\ = (a^{2} + b^{2}) (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}) \end{array}

Jautājums, vai pēdējo iekavu var sadalīt reizinātājos ar racionāliem koeficientiem?

Atceramies, ka pārveidojot sesto pakāpju starpību,

(a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4})

varēja sadalīt reizinātājos, pieskaitot un atņemot darbības locekļus un izmantojot summas kvadrāta un kvadrātu starpības formulas:

\begin{array}{l} a^{4} + \underline{a^{2} b^{2}} + b^{4} + \underline{a^{2} b^{2}} - a^{2} b^{2} = \\ = {a^{4} + 2 a}^{2} b^{2} + b^{4} - a^{2} b^{2} = \\ = {(a^{2} {+ b}^{2})}^{2} - a^{2} b^{2} = \\ = (a^{2} {+ b}^{2} - a b) (a^{2} {+ b}^{2} + a b) \end{array}

Vai tādā pašā veidā var sadalīt reizinātājos iekavu

(a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4})

Veidosim starpības kvadrātu:

\begin{array}{l} a^{4} - \underline{a^{2} b^{2}} + b^{4} - \underline{a^{2} b^{2}} + a^{2} b^{2} = \\ a^{4} - \underline{{2 a}^{2} b^{2}} + b^{4} + a^{2} b^{2} \\ = {(a^{2} {- b}^{2})}^{2} + a^{2} b^{2} \end{array}

Redzam, ka tālāk kvadrātu starpības formulu nevar pielietot, jo ieguvām kvadrātu summu.

Mēģinām veidot summas kvadrātu:

\begin{array}{l} a^{4} - \underline{a^{2} b^{2}} + b^{4} + 2 \underline{a^{2} b^{2}} - 2 a^{2} b^{2} = \\ a^{4} + \underline{{2 a}^{2} b^{2}} + b^{4} - 3 a^{2} b^{2} \\ = {(a^{2} {+ b}^{2})}^{2} - 3 a^{2} b^{2} \end{array}

Kvadrātu starpības formulu var pielietot, bet divi koeficienti būs iracionāli skaitļi.

\begin{array}{l} {(a^{2} {+ b}^{2})}^{2} - 3 a^{2} b^{2} = \\ = (a^{2} {+ b}^{2} - \sqrt{3} \cdot a b) (a^{2} {+ b}^{2} + \sqrt{3} \cdot a b) \end{array}

Var pierādīt, ka izteiksmi

(a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4})

nevar sadalīt reizinātājos ar racionāliem koeficientiem.

Tātad sesto pakāpju summas sadalījums reizinātājos ar racionāliem koeficientiem ir:

a^{6} + b^{6} = (a^{2} + b^{2}) (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4})

Salīdzinājumam sesto pakāpju starpības sadalījums:

a^{6} - b^{6} = (a - b) (a + b) (a^{2} + a b + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2})

Uzziņa

Kvadrātu summas formula eksistē komplekso skaitļu laukā:

a^{2} + b^{2} = (a - bi) (a + bi)

Pārbaude:

\begin{array}{l} (a - bi) (a + bi) = \\ = a^{2} - {b^{2} i}^{2} = \\ = a^{2} - (- b^{2}) = \\ = a^{2} + b^{2} \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

6. Sesto pakāpju summas sadalīšana reizinātājos