Aplūkosim kā īstu daļveida racionālu funkciju var sadalīt elementārdaļās, t. i., izteikt to kā elementārdaļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.
Vidusskolas kursā atkarībā no saucēja polinoma saknēm aplūko divu veidu elementārdaļas:
1) katrai reālai vienkāršai saknei \(a\) atbilst elementārdaļa .
2) reālai saknei \(a\) ar kārtu \(k\) (\(k>1\)) atbilst \(k\) elementārdaļas .
Katru elementārdaļu integrē atsevišķi.
Aplūkosim piemēru otrajam veidam, kurā saucēja saknes kārta ir \(k=2\).
Piemērs:
Nosaki integrāli !
Sadalīsim elementārdaļās izteiksmi .
Vispirms sadala reizinātājos saucēju. Saucējs ir starpības kvadrāts. Saucēja sakne \(x=1\) ir otrās kārtas sakne.
Uzraksta sadalījumu elementārdaļās:
Tā kā ir tikai divi koeficienti, pieraksta vienkāršības dēļ, otro koeficientu apzīmē ar \(B.\)
Lai noskaidrotu \(A\) un \(B\), vienādo elementārdaļu saucējus:
Tā kā daļas ir vienādas, to saucēji arī ir vienādi, tad vienādiem jābūt arī skaitītājiem:
Zināms, ka uzrakstītā vienādība izpildās jebkurai \(x\) vērtībai.
1) \(x\) vietā ievietosim sakni
Ja \(x=1\), tad
2) Lai iegūtu \(A\) vērtību, var rīkoties dažādi.
Mēs ievietosim iegūto \(B\) vērtību un izvēlēsimies \(x=0\)
Tātad dotās funkcijas sadalījums elementārdaļās ir:
Integrē doto funkciju.
Nosakot integrāli, ievēro, ka otro elementārdaļu integrē kā pakāpi, pārejot uz citu diferenciāli.
Tātad
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 19.- 20. lpp.
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs