Integrālis, nenoteikto koeficientu metode vienkāršai saknei — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Par daļveida racionālu funkciju sauc divu polinomu attiecību.

Ja skaitītāja polinoma pakāpe ir mazāka nekā saucēja polinoma pakāpe, tad šo polinomu attiecību sauc par īstu daļveida racionālu funkciju.

Piemēram,

\frac{1}{x - 2}; \frac{x + 4}{x^{2} - 2 x + 3}; \frac{x}{x^{2} - 1}

Katru īstu daļveida racionālu funkciju var izteikt kā summu, kuras saskaitāmie ir visvienkāršākās algebriskās daļas - elementārdaļas.

Aplūkosim kā īstu daļveida racionālu funkciju var sadalīt elementārdaļās, t. i., izteikt to kā elementārdaļu summu ar nenoteiktiem koeficientiem.

Vidusskolas kursā atkarībā no saucēja polinoma saknēm aplūko divu veidu elementārdaļas:

1) katrai reālai vienkāršai saknei \(a\) atbilst elementārdaļa

\frac{A}{x - a}

2) reālai saknei \(a\) ar kārtu \(k\) (\(k>1\)) atbilst \(k\) elementārdaļas

\frac{A_{1}}{x - a} + \frac{A_{2}}{{(x - a)}^{2}} + ... + \frac{A_{k}}{{(x - a)}^{k}}

Tad, kad īsta daļveida racionāla funkcija ir izteikta kā atbilstošo elementārdaļu summa, vienādo saucējus un, pielīdzinot iegūto skaitītāju dotās funkcijas skaitītājam, aprēķina nezināmos koeficientus. Katru elementārdaļu integrē atsevišķi.

Piemērs:

Nosaki integrāli

\int \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} dx

Sadalīsim elementārdaļās izteiksmi

\frac{1}{x^{2} - 5 x + 6}

Vispirms sadala reizinātājos saucēju. Saucējam ir divas dažādas reālas saknes \(2\) un \(3\).

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 3) (x - 2)

Var uzrakstīt sadalījumu elementārdaļās:

\frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{1}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}

\( \)

Skaitītāji nav zināmi, tāpēc tos apzīmē ar burtiem \(A\) un \(B\).

Lai noskaidrotu \(A\) un \(B\), vienādo elementārdaļu saucējus:

\begin{array}{l} \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{A^{(x - 2}}{x - 3} + \frac{B^{(x - 3}}{x - 2} \\ \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{A (x - 2) + B (x - 3)}{x^{2} - 5 x + 6} \\ \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{Ax - 2 A + Bx - 3 B}{x^{2} - 5 x + 6} \end{array}

Tā kā daļas ir vienādas, to saucēji arī ir vienādi, tad vienādiem jābūt arī skaitītājiem:

\begin{array}{l} 1 = Ax - 2 A + Bx - 3 B \\ Ax - 2 A + Bx - 3 B = 1 \end{array}

Ir dažādi veidi, kā noteikt \(A\) un \(B\).

Aprēķināsim šos koeficientus, \(x\) vietā ievietojot konkrētas vērtības. Zināms, ka uzrakstītā vienādība izpildās jebkurai \(x\) vērtībai.

1) \(x\) vietā ievietosim vienu no saknēm.

Ja \(x=3\), tad

\begin{array}{l} A \cdot 3 - 2 A + B \cdot 3 - 3 B = 1 \\ 3 A - 2 A + 3 B - 3 B = 1 \\ A - 0 = 1 \\ A = 1 \end{array}

Pagaidām iegūto \(A\) neizmantosim.

2) \(x\) vietā ievietosim otru sakni.

Ja \(x=2\), tad

\begin{array}{l} A \cdot 2 - 2 A + B \cdot 2 - 3 B = 1 \\ 0 - B = 1 \\ B = - 1 \end{array}

Tātad dotās izteiksmes sadalījums elementārdaļās ir:

\begin{array}{l} \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{1}{x - 3} + \frac{- 1}{x - 2} \\ \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 2} \end{array}

Nosaka integrāli:

\begin{array}{l} \int \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} dx = \int (\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 2}) dx = \\ = \int \frac{1}{x - 3} dx - \int \frac{1}{x - 2} dx = \ln |x - 3| - \ln |x - 2| + C \end{array}

Nākošā teorijā aplūkosim 2) gadījumu, kad saucēja sakne ir ar kārtu \(k\) (\(k>1\)).

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Dainis Kriķis. Kārlis Šteiners. Matemātiskās analīzes elementi vidusskolai. 2. daļa. izm. 19.- 20. lpp.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

3. Integrālis, nenoteikto koeficientu metode vienkāršai saknei

Teorija