Matemātika II - jauna mācību tēma
"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"
Pierādi konusa tilpuma aprēķināšanas formulu, izmantojot noteikto integrāli.
 
Pierādījums
 
Konuss ir rotācijas ķermenis, kas rodas, taisnleņķa trijstūrim rotējot ap kateti.
Apzīmēsim konusa augstumu ar \(H\) un rādiusu ar \(R\).
 
Novelkam koordinātu asis tā, lai koordinātu sākumpunkts sakrīt ar konusa virsotni un tā augstums atrodas uz \(Ox\) ass.
 
YeqX.svg
Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap \(Ox\) asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu Vx=πabfx2dx. Formula ir dota formulu lapā.
 
Lai uzzinātu, kas ir funkcija \(f(x) \), jāatrod konusa veidules vienādojums.
 
Meklējam vienādojumu taisnei, kas vilkta caur koordinātu sākumpunktu.
 
Zinām, ka taisnes virziena koeficients ir tangenss leņķim, ko taisne veido ar \(Ox\) ass pozitīvo virzienu.Pēc sakarībām taisnleņķa trijstūrī tgα=RH (pretkatetes un piekatetes attiecība).
Tātad meklētās taisnes jeb konusa viedules vienādojums ir f(x)=RHx.
 
Atrodam konusa tilpumu:
V=π0HRHx2dx=πR2H20Hx2dx==πR2H2x33H0==πR2H2H330==πR2H3
Konusa tilpuma aprēķināšanas formula ir V=13πR2H.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts