Matemātika II - jauna mācību tēma
"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"
Sakarības starp lielumiem telpiskajos ķermeņos.
Piemērs:
Pierādi lodes tilpuma aprēķināšanas formulu, izmantojot noteikto integrāli.
Pierādījums
Formulu lapā ir dota lodes tilpuma formula: V=43πR3
Ķermeni, kas rodas pusriņķim rotējot ap tā diametru, sauc par lodi.
YCUZD_161222_4837_1.svg
 
Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap \(Ox\) asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu Vx=πabfx2dx. Formula ir dota formulu lapā.
Jāuzzina funkcija \(f(x).\)
 
Novietosim puslodi tā, kā parādīts zīmējumā, lai lodes centrs sakrīt ar koordinātu sākumpunktu.
YCUZD_161222_4837_2.svg
  
Riņķa līnijas vienādojums  x2+y2=R2.
 
Izsakot \(y\), iegūst y=±R2x2
Augšējā loka funkcija ir y=R2x2, bet apakšējā ir y=R2x2.
 
Tā kā ap \(Ox\) asi rotē augšējais loks, mums nepieciešama tikai augšējā loka funkcija:fx=R2x2
 
Integrējot ievērojam, ka \(R\) ir konstante.
Cdx=Cxxn=xn+1n+1 
Vp.l.=π0RR2x22dx==π0RR2x2dx==πR20Rdxπ0Rx2dx==πR2x0Rπx330R==πR2R0πR330=πR3πR33==πR3R33==π2R33
 
Ievēro, ka mēs aprēķinājām puslodes tilpumu.
Lodes tilpums ir
 Vl=2π2R33=4πR33
 
Tas bija jāpierāda.
Vingrinies šeit.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa