Sakarības starp lielumiem telpiskajos ķermeņos.
Piemērs:
Pierādi lodes tilpuma aprēķināšanas formulu, izmantojot noteikto integrāli.
Pierādījums
Formulu lapā ir dota lodes tilpuma formula:
Ķermeni, kas rodas pusriņķim rotējot ap tā diametru, sauc par lodi.
Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap \(Ox\) asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu . Formula ir dota formulu lapā.
Jāuzzina funkcija \(f(x).\)
Novietosim puslodi tā, kā parādīts zīmējumā, lai lodes centrs sakrīt ar koordinātu sākumpunktu.
Riņķa līnijas vienādojums .
Izsakot \(y\), iegūst
Augšējā loka funkcija ir , bet apakšējā ir .
Tā kā ap \(Ox\) asi rotē augšējais loks, mums nepieciešama tikai augšējā loka funkcija:
Integrējot ievērojam, ka \(R\) ir konstante.
Ievēro, ka mēs aprēķinājām puslodes tilpumu.
Lodes tilpums ir
Tas bija jāpierāda.
Vingrinies šeit.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa