Konusa tilpuma formulu pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi konusa tilpuma aprēķināšanas formulu, izmantojot noteikto integrāli.

Pierādījums

Konuss ir rotācijas ķermenis, kas rodas, taisnleņķa trijstūrim rotējot ap kateti.

Apzīmēsim konusa augstumu ar \(H\) un rādiusu ar \(R\).

Novelkam koordinātu asis tā, lai koordinātu sākumpunkts sakrīt ar konusa virsotni un tā augstums atrodas uz \(Ox\) ass.

Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap \(Ox\) asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu

V_{x} = {π \int}_{a}^{b} {(f (x))}^{2} dx

. Formula ir dota formulu lapā.

Lai uzzinātu, kas ir funkcija \(f(x) \), jāatrod konusa veidules vienādojums.

Meklējam vienādojumu taisnei, kas vilkta caur koordinātu sākumpunktu.

Zinām, ka taisnes virziena koeficients ir tangenss leņķim, ko taisne veido ar \(Ox\) ass pozitīvo virzienu.Pēc sakarībām taisnleņķa trijstūrī

tg α = \frac{R}{H}

(pretkatetes un piekatetes attiecība).

Tātad meklētās taisnes jeb konusa viedules vienādojums ir

f (x) = \frac{R}{H} \cdot x

Atrodam konusa tilpumu:

\begin{array}{l} V = π \int_{0}^{H} \begin{array}{l} {(\frac{R}{H} \cdot x)}^{2} dx = \frac{π R^{2}}{H^{2}} \int_{0}^{H} x^{2} dx = \end{array} \\ = \frac{π R^{2}}{H^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{3}| \begin{array}{l} H \\ 0 \end{array} = \\ = \frac{π R^{2}}{H^{2}} \cdot (\frac{H^{3}}{3} - 0) = \\ = \frac{π R^{2} H}{3} \end{array}

Konusa tilpuma aprēķināšanas formula ir

V = \frac{1}{3} π R^{2} H

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts

Atradi kļūdu?

8. Konusa tilpuma formulu pierādījums