Tilpums rotācijas ķermenim, funkcijas grafikam rotējot ap Ox asi — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Tilpums rotācijas ķermenim, kas rodas funkcijas grafikam rotējot ap \(Ox\) asi

Pieņemsim, ka kāda figūra, kuru definē funkcija \(f(x) \), rotē ap \(Ox\) asi.

Katrs šīs plaknes laukuma punkts rotē ap \(Ox\) asi un rodas telpiska figūra.

Aplūkosim stabiņu ar platumu

Δ x

. Šim stabiņam rotējot ap \(Ox\) asi, rodas plāns cilindrs.

Jautājums, kāds ir šī cilindra tilpums?

Cilindra tilpums ir augstuma \(H\) un pamata (riņķa) laukuma reizinājums.

V_{cil .} = H \cdot π R^{2}

Mūsu gadījumā iegūtā cilindra augstums (biezums) ir

Δ x

un pamata riņķa rādiuss ir \(f(x).\)

Tātad

V_{cil .} = Δ x \cdot π f^{2} (x)

Δ x

visu laiku samazinot, iegūst kādu ļoti mazu tilpuma daļu:

\begin{array}{l} {dV}_{cil .} = π f^{2} (x) dx \end{array}

Integrālis ir šādu bezgalīgi mazu tilpuma daļiņu summa, saskaitot visus mazos cilindrus no rotācijas ķermeņa sākuma līdz beigām:

V = \int_{x = a}^{x = b} dV = \int_{a}^{b} π f^{2} (x) dx

Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap \(Ox\) asi, tilpumu aprēķina ar formulu

V_{x} = {π \int}_{a}^{b} f^{2} (x) dx

Ievēro, ka rotācijas ķermeņiem, kurus iegūst rotācijā ap \(Ox\) asi, augstums \(H\) atrodas horizontāli, to nolasa uz \(Ox\) ass.

Piemērs:

Rotācijas ķermenis konstruēts tā, ka rotācijas ass sakrīt ar \(Ox\) asi. Ķermeņa augstums ir \(4\), veidule ir aprakstāma ar funkciju

y = 2 \sqrt{x}

. Ķermeņa virsotnei atbilst \(x=0\), bet pamatam \(x=4\). Kāds ir rotācijas ķermeņa tilpums?

Risinājums.

Izveido skici. \(H=4.\)

Pēc formulas

V_{x} = {π \int}_{a}^{b} f^{2} (x) dx

Tātad

\begin{array}{l} V_{x} = π \int_{0}^{4} {(2 \sqrt{x})}^{2} dx = π \int_{0}^{4} 4 xdx = π \cdot 2 x^{2}| \begin{array}{l} 4 \\ 0 \end{array} = \\ = 2 π (4^{2} - 0^{2}) = 32 π \end{array}

Atbilde: Rotācijas ķermeņa tilpums ir

32 π

tilpuma vienības.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts.

Atradi kļūdu?

7. Tilpums rotācijas ķermenim, funkcijas grafikam rotējot ap Ox asi