Ar noteikto integrāli var aprēķināt līklīnijas trapeces laukumu.
Līklīnijas trapece ir figūra, kuru ierobežo funkcija \(f(x\)), \(Ox\) ass un taisnes \(x=a\) un \(x=b\). Funkcija \(f(x)\) ir nepārtraukta un nenegatīva intervālā \([a;b].\)
Aplūkosim biežāk sastopamās situācijas, kādas rodas, aprēķinot plaknes figūras laukumu ar noteiktā integrāļa palīdzību.
1. Funkcija dotajā intervālā ir nenegatīva.
Ja intervālā \([a;b]\) funkcija , tad .
2. Funkcija dotajā intervālā ir mazāka vai vienāda ar nulli.
Ja intervālā \([a;b]\) funkcija , tad .
3. Funkcija intervālā maina zīmi.
Ja intervālā \([a;d]\) funkcijas vērtības maina zīmi, tad atrisinot vienādojumu \(f(x)=0\), atrod grafika un \(Ox\) ass krustpunktu abscisas.
Zīmējumā doto laukumu var aprēķināt sekojoši:
vai arī
4. Figūru ierobežo divu funkciju grafiki.
Ja figūru ierobežo divu vai vairāku funkciju grafiki \(f(x)\) un \(g(x\)), vispirms atrod doto funkciju grafiku krustpunktu abscisas. Atrisina vienādojumu \(f(x)=g(x\)), iegūstot saknes . Iesvītrotās figūras laukumu var izteikt kā divu līklīnijas trapeču laukumu starpību:
.
Šis likums ir spēkā arī tad, ja abas vai viena no funkcijām ir negatīva vai arī šajā intervālā maina zīmi.
Nākošās teorijās aplūkosim pēdējo 3 gadījumu piemērus.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa