Integrāļa lietojums fizikā (mehānikā) — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Integrāļa lietojums fizikā (mehānikā)

Ja ir zināma paātrinājuma izteiksme, ar nenoteikto integrāli var noteikt ātruma izteiksmi:

v (t) = \int a (t) dt

Ja ir zināma ātruma izteiksme, ar nenoteikto integrāli var izrēķināt koordinātu:

x (t) = \int v (t) dt

Ja ir zināma ātruma izteiksme un laiks, ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto ceļu:

s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) dt = x (t)| \begin{array}{l} t_{2} \\ t_{1} \end{array}

Ja ir zināma spēka izteiksme atkarībā no koordinātas un ceļš veikts taisnā posmā, tad ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto darbu:

A = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F (x) dx

, kur

x_{1}, x_{2}

- sākuma un beigu koordināta.

Piemērs:

Aprēķini taisnvirziena kustības ātrumu laika momentā $t = 3 s$ , ja zināms, ka paātrinājums tiek rēķināts pēc likuma $a (t) = (5 - 2 t) \frac{m}{s^{2}}$ un ķermenis uzsāk kustību no miera stāvokļa. Aprēķini veikto ceļu kustības pirmajās $6$ sekundēs.

Risinājums.

Tā kā ķermenis uzsāk kustību no miera stāvokļa, tad $v(0)=0$.

Ātruma izteiksmi iegūstam, integrējot paātrinājuma izteiksmi:

v (t) = \int a (t) dt = \int (5 - 2 t) dt = 5 t - t^{2} + C

Konstante $C$ sakrīt ar sākuma ātrumu, tātad $C=0$.

Ātruma izteiksme ir

v (t) = 5 t - t^{2}

Aprēķinām ātrumu pēc $3$ sekundēm.

v (3) = 5 \cdot 3 - 3^{2} = 15 - 9 = 6 (m / s)

Tātad pēc $3$ sekundēm ķermenis ir sasniedzis ātrumu ir $6$ metri sekundē.

Ja ir zināma ātruma izteiksme un laiks, ar noteikto integrāli var aprēķināt veikto ceļu:

\begin{array}{l} s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) dt = \int_{0}^{6} (5 t - t^{2}) dt = \\ = (\frac{5 t^{2}}{2} - \frac{t^{3}}{3})| \begin{array}{l} 6 \\ 0 \end{array} = \frac{5 \cdot 36}{2} - \frac{6^{3}}{3} - 0 = \\ = 90 - 72 = 18 (m) \end{array}

Tātad veiktais ceļš pirmajās $6$ sekundēs ir $18$ metri.

Aplūkosim piemēru par mainīga spēka veikto darbu.

Piemērs:

Zināms, ka izstiepjot atsperi par $1$ $cm$ , nepieciešams $3$ $N$ liels spēks. Aprēķini darbu, kas jāveic, izstiepjot atsperi par $6$ $cm$ .

Risinājums.

No fizikas zinām, ka atsperes izstiepšanai nepieciešamais spēks ir proporcionāls tās galapunkta pārvietojumam $x.$ Tātad $F(x)=kx$, kur proporcionalitātes koeficients $k$ ir atkarīgs no atsperes elastības īpašībām.