Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Kompleksa matemātiska problēma. Atkārto atvasinājuma lietojumu.
Piemērs:
Zvejnieks atrodas laivā \(5\) km attālumā no krasta un vēlas nokļūt piekrastes ciemā, kas atrodas \(6\) km attālumā pa taisnu līniju no krasta punkta, kas ir vistuvākais laivai (skat.zīm.). Viņš var airēt ar ātrumu \(2\) km/h un pārvietoties pa sauszemi ar ātrumu \(5\) km/h.
Noskaidro, kur viņam piestāt krastā, lai pēc iespējas īsākā laikā nokļūtu ciematā. Rezultātu noapaļo ar precizitāti \(0,01\).
 
zv2.svg
Risinājums.
\(A\) - punkts, kurā atrodas zvejnieks.
\(AB\) - attālums no laivas līdz ceļam
\(D\) - punkts, kur zvejnieks atstās laivu
\(BC\) - attālums no punkta \(B\) līdz ciemam
\(DC\) - attālums, ko zvejnieks veiks ar kājām.
 
Zināms, ka \(BC=6\) km. Apzīmē
\(x\) ... attālums \(BD\ \)
\(6-x\) … attālums \(DC\)
 
zv1 (1).svg
 
\(ABD\) - taisnleņķa trijstūris.
Pēc Pitagora teorēmas
AD=x2+52AD=x2+25
Laiku aprēķina, ja veikto ceļu dala ar ātrumu t=sv.
Uzrakstām funkciju, kas izsaka laiku, ko zvejnieks pavadītu ceļā uz ciemu (pārvietojoties pa lauztu līniju \(ADC\)).
 
tx=AD2+DC5t(x)=x2+252+6x5
 
Definīcijas apgabals:
x>06x>0x0;6
 
Lai noteiktu minimālo laiku, jāatrod funkcijas \(f(x)\) minimuma punkts - argumenta \(x\) vērtība, ar kuru funkcijai dotajā intervālā ir vismazākā vērtība.
Atrod pirmo atvasinājumu.
Izmanto saliktas funkcijas pakāpes atvasinājumu.
 
t(x)=12x2+2512+156xtx=1212x2+2512x2+1501tx=142xx2+2515tx=x2x2+2515
 
Lai atrastu minimuma punktu, pielīdzinām atvasinājumu nullei. Atrisinām vienādojumu.
tx=0x2x2+2515=0x2x2+25=155x=2x2+255x2=2x2+25225x2=4x2+2525x24x2=10021x2=100x2=10021x1=1021,x2=1021
 
Otrā sakne neder, jo nepieder funkcijas definīcijas apgabalam.
x1=102121\(2,18\), noapaļo ievērojot doto precizitāti \((0,01).\)
 
Nosaka zīmes pirmajam atvasinājumam abos intervālos:
\(x\)
\((0;x_1)\)
x1
\((x_1;6)\)
tx
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(t(x)\)
dilst
 min
aug
 
Secinām, ka iegūtais punkts x1 ir minimuma punkts. Tātad laiks ceļā būs vismazākais, ja zvejnieks  noliks laivu punktā, kas atrodas \(2,18\) km attālumā no \(B\) (no punkta krastā, kas vistuvākais no laivas līdz ceļam). \(BD=2,18\) km.
  
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Skola2030 kursu materiāli