Par zvejnieka došanos uz ciemu. Atvasinājums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Kompleksa matemātiska problēma. Atkārto atvasinājuma lietojumu.

Piemērs:

Zvejnieks atrodas laivā $5$ $km$ attālumā no krasta un vēlas nokļūt piekrastes ciemā, kas atrodas $6$ $km$ attālumā pa taisnu līniju no krasta punkta, kas ir vistuvākais laivai (skat.zīm.). Viņš var airēt ar ātrumu $2$ $km / h$ un pārvietoties pa sauszemi ar ātrumu $5$ $km / h$ .

Noskaidro, kur viņam piestāt krastā, lai pēc iespējas īsākā laikā nokļūtu ciematā. Rezultātu noapaļo ar precizitāti $0,01$.

Risinājums.

$A$ - punkts, kurā atrodas zvejnieks.

$AB$ - attālums no laivas līdz ceļam

$D$ - punkts, kur zvejnieks atstās laivu

$BC$ - attālums no punkta $B$ līdz ciemam

$DC$ - attālums, ko zvejnieks veiks ar kājām.

Zināms, ka $BC=6$

km

. Apzīmē

$x$ ... attālums $BD\ $

$6-x$ … attālums $DC$

$ABD$ - taisnleņķa trijstūris.

Pēc Pitagora teorēmas

\begin{array}{l} AD = \sqrt{x^{2} + 5^{2}} \\ AD = \sqrt{x^{2} + 25} \end{array}

Laiku aprēķina, ja veikto ceļu dala ar ātrumu

t = \frac{s}{v}

Uzrakstām funkciju, kas izsaka laiku, ko zvejnieks pavadītu ceļā uz ciemu (pārvietojoties pa lauztu līniju $ADC$).

\begin{array}{l} t (x) = \frac{AD}{2} + \frac{DC}{5} \\ t (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 25}}{2} + \frac{6 - x}{5} \end{array}

Definīcijas apgabals:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > 0 \\ 6 - x > 0 \end{cases} \\ x \in (0; 6) \end{array}

Lai noteiktu minimālo laiku, jāatrod funkcijas $f(x)$ minimuma punkts - argumenta $x$ vērtība, ar kuru funkcijai dotajā intervālā ir vismazākā vērtība.

Atrod pirmo atvasinājumu.

Izmanto saliktas funkcijas pakāpes atvasinājumu.

\begin{array}{l} t (x) = \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} (6 - x) \\ t^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \cdot {(x^{2})}^{'} + \frac{1}{5} \cdot (0 - 1) \\ t^{'} (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 25}} - \frac{1}{5} \\ t^{'} (x) = \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} + 25}} - \frac{1}{5} \end{array}

Lai atrastu minimuma punktu, pielīdzinām atvasinājumu nullei. Atrisinām vienādojumu.

\begin{array}{l} t^{'} (x) = 0 \\ \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} + 25}} - \frac{1}{5} = 0 \\ \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} + 25}} = \frac{1}{5} \\ 5 x = 2 \sqrt{x^{2} + 25} \\ {(5 x)}^{2} = {(2 \sqrt{x^{2} + 25})}^{2} \\ 25 x^{2} = 4 (x^{2} + 25) \\ 25 x^{2} - 4 x^{2} = 100 \\ 21 x^{2} = 100 \\ \sqrt{x^{2}} = \sqrt{\frac{100}{21}} \\ x_{1} = \frac{10}{\sqrt{21}}, x_{2} = - \frac{10}{\sqrt{21}} \end{array}

Otrā sakne neder, jo nepieder funkcijas definīcijas apgabalam.

x_{1} = \frac{10 \sqrt{21}}{21} \approx

$2,18$, noapaļo ievērojot doto precizitāti $(0,01).$

Nosaka zīmes pirmajam atvasinājumam abos intervālos:

$x$	$(0;x_1)$	$x_{1}$	$(x_1;6)$
$t^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$
$t(x)$	dilst $↘$	min	aug $↗$

Secinām, ka iegūtais punkts

x_{1}

ir minimuma punkts. Tātad laiks ceļā būs vismazākais, ja zvejnieks noliks laivu punktā, kas atrodas $2,18$

km

attālumā no $B$ (no punkta krastā, kas vistuvākais no laivas līdz ceļam). $BD=2,18$

km

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Skola2030 kursu materiāli

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

\(x\)	\((0;x_1)\)	$x_{1}$	\((x_1;6)\)
$t^{'} (x)$	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(t(x)\)	dilst $↘$	min	aug $↗$

5. Par zvejnieka došanos uz ciemu. Atvasinājums

Teorija