Maksimālais laukums taisnstūrim, ko ierobežo parabola. Atvasinājums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Piemērs:

Figūru ierobežo parabola

y = - x^{2} + 10 x + 23

un abscisu ass. Figūrā ievilkts taisnstūris tā, ka viena mala atrodas uz abscisu ass. Kādam jābūt taisnstūra malu garumiem, lai laukums būtu vislielākais?

Risinājums

Izveido zīmējumu. Konstruē parabolu, nosakot tās virsotnes koordinātas.

YCUZD_221206_4784_vislielākais_laukums ar 5.svg

x_{v} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 10}{- 2} = 5

Punkta $D$ koordinātas ir $(x;0)$, kur $x>5$

Tad garums malai

AD = 2 \cdot (x - 5)

Garums malai

CD = y (x) = - x^{2} + 10 x + 23

Nosakām taisnstūra laukuma funkciju:

\begin{array}{l} S (ABCD) = AD \cdot CD = \\ = 2 (x - 5) (- x^{2} + 10 x + 23) = \\ = (2 x - 10) (- x^{2} + 10 x + 23) = \\ = - 2 x^{3} + 20 x^{2} + 46 x + 10 x^{2} - 100 x - 230 = \\ = - 2 x^{3} + 30 x^{2} - 54 x - 230 \end{array}

Atrodam funcijas kritiskos punktus:

\begin{array}{l} S^{'} = {(- 2 x^{3} + 30 x^{2} - 54 x - 230)}^{'} = \\ = - 6 x^{2} + 60 x - 54 \\ S^{'} = 0 \\ - 6 x^{2} + 60 x - 54 = 0 | : (- 6) \\ x^{2} - 10 x + 9 = 0 \\ x_{1} = 1; x_{2} = 9 \end{array}

$x$	$(- \infty; 1)$	$(1;9)$	$(9; + \infty)$
$S^{'} (x)$	-	+	-
$S(x)$	dilst	aug	dilst

Funkcija $S(x)$ ir nepārtraukta un tai intervālā

(5; + \infty)

ir tikai viens ekstrēma punkts $x=9$, tas ir maksimuma punkts. Tātad šajā punktā $S(x)$ ir vislielākā vērtība.

Aprēķina taisnstūra malu garumus:

\begin{array}{l} AD = 2 x - 10, ja x = 9 \\ AD = 2 \cdot 9 - 10 = 8 \\ CD = - x^{2} + 10 x + 23 \\ CD = - 81 + 90 + 23 = 32 \end{array}

*VISC piedāvātie vērtēšanas kritēriji eksāmenā

1 punkts	Izveido uzdevuma nosacījumiem atbilstošu zīmējumu.
2 punkti	Uzraksta taisnstūra laukumu kā funkciju no viena mainīgā
1 punkts	Aprēķina funkcijas atvasinājumu.
1 punkts	Nosaka kritiskos punktus.
2 punkti	Pamato maksimuma punktu un aprēķina taisnstūra malu garumus.
ir/nav	Korekti lieto atvasinājuma simbolisko pierakstu.

Vingrinies šeit.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

*/VISC prezentācija (Aivars Ančupāns) 2022. nov.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

4. Maksimālais laukums taisnstūrim, ko ierobežo parabola. Atvasinājums

Teorija