Lodes tilpuma pierādījums. Integrālis — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Sakarības starp lielumiem telpiskajos ķermeņos.

Piemērs:

Pierādi lodes tilpuma aprēķināšanas formulu, izmantojot noteikto integrāli.

Pierādījums

Formulu lapā ir dota lodes tilpuma formula:

V = \frac{4}{3} π R^{3}

Ķermeni, kas rodas pusriņķim rotējot ap tā diametru, sauc par lodi.

Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap \(Ox\) asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu

V_{x} = {π \int}_{a}^{b} {(f (x))}^{2} dx

. Formula ir dota formulu lapā.

Jāuzzina funkcija \(f(x).\)

Novietosim puslodi tā, kā parādīts zīmējumā, lai lodes centrs sakrīt ar koordinātu sākumpunktu.

Riņķa līnijas vienādojums

x^{2} + y^{2} = R^{2}

Izsakot \(y\), iegūst

y = \pm \sqrt{R^{2} - x^{2}}

Augšējā loka funkcija ir

y = \sqrt{R^{2} - x^{2}}

, bet apakšējā ir

y = - \sqrt{R^{2} - x^{2}}

Tā kā ap \(Ox\) asi rotē augšējais loks, mums nepieciešama tikai augšējā loka funkcija:

f (x) = \sqrt{R^{2} - x^{2}}

Integrējot ievērojam, ka \(R\) ir konstante.

\int Cdx = Cx \int x^{n} = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

\begin{array}{l} V_{p . l .} = π \int_{0}^{R} {(\sqrt{R^{2} - x^{2}})}^{2} dx = \\ = π \int_{0}^{R} (R^{2} - x^{2}) dx = \\ = π R^{2} \int_{0}^{R} dx - π \int_{0}^{R} x^{2} dx = \\ = π R^{2} {x|}_{0}^{R} - π {\frac{x^{3}}{3}|}_{0}^{R} = \\ = π R^{2} \cdot R - 0 - (π \frac{R^{3}}{3} - 0) \\ = π R^{3} - π \frac{R^{3}}{3} = \\ = π (R^{3} - \frac{R^{3}}{3}) = \\ = π \frac{2 R^{3}}{3} \end{array}

Ievēro, ka mēs aprēķinājām puslodes tilpumu.

Lodes tilpums ir

V_{l} = 2 \cdot π \frac{2 R^{3}}{3} = \frac{4 π R^{3}}{3}

Tas bija jāpierāda.

Vingrinies šeit.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

11. Lodes tilpuma pierādījums. Integrālis