Nošķelta konusa tilpums. Integrālis — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Sakarības starp lielumiem telpisko ķermeņos

Piemērs:

Pierādi nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanas formulu, izmantojot noteikto integrāli.

Pierādījums

Formulu lapā ir dota nošķelta konusa tilpuma formula:

V = \frac{π H}{3} (R^{2} + Rr + r^{2})

Par nošķeltu konusu sauc rotācijas figūru, kas veidojas, taisnleņķa trapecei rotējot ap īsāko sānu malu (zīmējumā tā ir \(H\)).

Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap \(Ox\) asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu

V_{x} = {π \int}_{a}^{b} {(f (x))}^{2} dx

. Formula ir dota formulu lapā.

Lai uzzinātu, kas ir funkcija \(f(x) \), jāatrod konusa veidules vienādojums.

Novietosim trapeci tā, lai tā rotē ap \(Ox\) asi, sekojoši - nošķelta konusa augstums \(H\) atrodas uz \(Ox\) ass.

Meklējam vienādojumu taisnei, kas vilkta caur koordinātu sākumpunktu. Zinām, ka taisnes virziena koeficients ir tangenss leņķim, ko taisne veido ar \(Ox\) ass pozitīvo virzienu.

Pēc sakarībām taisnleņķa trijstūrī

tg α = \frac{R - r}{H}

Uzzīmējam jaunu zīmējumu: pabīdam konusa mazāko pamatu līdz Oy asij. Tā lai konusa augstuma galapunkti būtu \((0;0)\) un \((H;0).\)

Šajā gadījumā veidules vienādojums ir

y = \frac{R - r}{H} x + r

Kur \(R\) un \(r\) ir nošķeltā konusa rādiusi (\(r<R\)).

\begin{array}{l} V_{n . k .} = π \int_{0}^{H} {(\frac{R - r}{H} x + r)}^{2} dx = \\ = π \cdot \frac{H}{R - r} \int_{0}^{H} {(\frac{R - r}{H} x + r)}^{2} d (\frac{R - r}{H} x + r) = \\ = \frac{π H}{R - r} \cdot \frac{1}{3} {(\frac{R - r}{H} x + r)}^{3}| \begin{array}{l} H \\ 0 \end{array} = \\ = \frac{π H}{3 (R - r)} (R^{3} - r^{3}) = \\ = \frac{π H}{3} (R^{2} + Rr + r^{2}) \end{array}

Ievēro, ka

dx = \frac{1}{k} d (kx \pm c)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Nošķelta konusa tilpumu aprēķināšanas formula

V = \frac{π H}{3} (R^{2} + Rr + r^{2})

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

12. Nošķelta konusa tilpums. Integrālis

Teorija