Leņķis starp riņķa rādiusiem. Analītiskā ģeometrija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pirms lasi uzdevumu, atkārto teoriju par riņķa līnijas vienādojumu.

Eksāmena parauguzdevums

Piemērs:

No riņķa līnijas

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 5 = 0

krustpunktiem ar abscisu asi novilkti divi šīs riņķa līnijas rādiusi. Aprēķini leņķi starp tiem.

Risinājums

Atdala pilno kvadrātu, iegūst riņķa līnijas kanonisko vienādojumu:

\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 5 = 0 \\ x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y - 5 = 0 \\ x^{2} - 2 \cdot 2 x + 2^{2} + y^{2} + 2 \cdot 3 y + 3^{2} - 5 - 4 - 9 = 0 \\ {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 18 \end{array}

Tātad riņķa līnijas centrs \(O(2;-3).\)

Rādiuss

R^{2} = 18 \Rightarrow R = 3 \sqrt{2}

Aprēķina krustpunktu ar abscisu asi koordinātas.

Ja grafiks krusto \(Ox\) asi, tad \(y=0\).

\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 5 = 0 \\ x^{2} + 0^{2} - 4 x + 6 \cdot 0 - 5 = 0 \\ x^{2} - 4 x - 5 = 0 \\ x_{1} = - 1; x_{2} = 5 \end{array}

Uzzīmējot doto situāciju, redzam, ka rādiusi un nogrieznis uz \(Ox\) ass veido vienādsānu trijstūri.

Uz \(Ox\) ass nogriežņa garums ir \(6\) vienības.

Pārbaudām ar Pitagora teorēmu, vai šis trijstūris ir taisnleņķa: vai hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar katešu kvadrātu summu?

{\sqrt{18}}^{2} + {\sqrt{18}}^{2} = 36 = 6^{2}

Tātad trijstūris ir taisnleņķa, un rādiusi veido \(90°\) leņķi.

Tomēr tā bija nejaušība, ka leņķis ir \(90°\).

Vispārīgā gadījumā, lai noteiktu leņķi starp rādiusiem, varētu lietot kosinusu teorēmu. Varētu arī izmantot to, ka iegūtais trijstūris ir vienādsānu, novilkt tā augstumu un lietot sakarības taisnleņķa trijstūrī.

VISC piedāvātie vērtēšanas kritēriji eksāmenā

2 punkti	Nosaka rādiusu, izmantojot riņķa līnijas vienādojumu. Nosaka riņķa līnijas centra koordinātas, izmantojot riņķa līnijas vienādojumu.
1 punkts	Aprēķina riņķa līnjas krustpunktu ar abscisu asi koordinātas.
2 punkti	Aprēķina leņķi starp rādiusiem.
ir/nav	Korekts matemātiskais pieraksts.

Šī uzdevuma elementus vingrinies šeit: riņķa l. vienādojums. krustpunkti ar x asi, leņķis ar kosinusa teorēmu

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

VISC prezentācija (Aivars Ančupāns) 2022. nov.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

9. Leņķis starp riņķa rādiusiem. Analītiskā ģeometrija

Teorija