Leņķis starp taisnēm telpā. Analītiskā ģeometrija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pirms uzdevuma risināšanas atkārto skalāro reizinājumu.

Piemērs:

Kuba

ABCD A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

šķautnes garums ir \(2\) cm. \(E\) ir šķautnes

A_{1} B_{1}

viduspunkts, bet \(K\) ir škautnes

B_{1} C_{1}

viduspunkts. Aprēķini kosinusu leņķim starp taisnēm \(AE\) un \(BK\).

Risinājums

Leņķa kosinusu nosaka, izmantojot skalārā reizinājuma formulas.

Novietosim kubu Dekarta koordinātu sistēmā, kur \(A\) - koordinātu sākumpunkts.

Kuba škautne \(AB\) atrodas uz \(Ox\) ass, \(AD\) - uz \(Oy\) ass,

A A_{1}

- uz \(Oz\) ass.

Nosaka punktu koordinātas:

\(A(0;0;0)\)

\(B(2;0;0)\)

\(E (1;0;2)\)

\(K(2;1;2)\)

Uzraksta vektoru koordinātas:

\begin{array}{l} \vec{AE} = (1 - 0; 0 - 0; 2 - 0) = (1; 0; 2) \\ \vec{BK} = (2 - 2; 1 - 0; 2 - 0) = (0; 1; 2) \end{array}

Aprēķina vektoru garumus:

\begin{array}{l} |\vec{AE}| = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} \\ |\vec{BK}| = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} \end{array}

Garumi, protams ir vienādi, to var pārbaudīt arī ar Pitagora teorēmu katrā no kuba skaldnēm.

Uzraksta vektoru skalāro reizinājumu ar koordinātām:

\vec{AE} \cdot \vec{BK} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 4

Nosaka leņķa starp vektoriem kosinusu:

\begin{array}{l} \cos ∢ (\vec{AE}, \vec{BK}) = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{BK}}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{BK}|} = \\ \cos ∢ (\vec{AE}, \vec{BK}) = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{5} \end{array}

Atbilde: Kosinuss leņķim starp taisnēm \(AE\) un \(BK\) ir

\frac{4}{5}

VISC piedāvātie vērtēšanas kritēriji eksāmenā

1 punkts	Izprot koordinātu metodes lietošanu.
2 punkti	Nosaka vektoru \(AE\) un \(BK\) koordinātas.
2 punkti	Aprēķina kosinusu leņķim starp taisnēm.
ir/nav	Korekts matemātiskais pieraksts

Vingrinies šeit.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

VISC prezentācija A. Ančupāns 2022. nov.

Atradi kļūdu?

8. Leņķis starp taisnēm telpā. Analītiskā ģeometrija