Piemērs:
Kartona lapas izmēri ir \(8\) un \(5\). Izgriežot stūros vienādus kvadrātus un apmales atlokot, jāizveido kastīte ar vislielāko tilpumu. Sastādi funkcionālo sakarību \(V(x)\), kur \(V\) - kastītes tilpums un \(x\) - izgriezta kvadrāta malas garums.
Aprēķini kastītes maksimālo tilpumu, izmantojot atvasinājumu!
Risinājums
\(x\) ... tik ir kastes augstums,
\(8-2x\) ... tik ir kastes garums,
\(5-2x\) ... tik ir kastes platums.
Uzraksta tilpumu:
Nosaka definīcijas apgabalu. Kastes, augstums, garums un platums ir pozitīvi skaitļi:
Atrod funkcijas kritiskos punktus.
1) Atvasina tilpuma funkciju:
2) Atvasinājumu pielīdzina nullei:
Nosaka ekstrēmus definīcijas apgabalā:
\(x\)
|
|||
\(+\)
|
\(-\)
|
\(+\)
|
|
\(V(x)\)
|
aug
|
dilst
|
aug
|
Secinām, ka \(x=1\) ir maksimuma punkts. Funkcija ir nepārtraukta, tāpēc tai intervālā \((0;2,5)\) ir tikai viens ekstrēma punkts - maksimuma punkts. Tātad funkcijai \(V(x)\) šajā punktā ir vislielākā vērtība.
Aprēķinām lielāko vērtību:
\(V(1) = 40-26+4=18\) ()
Atbilde: Funkcionālā sakarība , maksimālais tilpums ir \(18\).
VISC piedāvātie vērtēšanas kritēriji eksāmenā
1 punkts | Iegūst funkcionālo sakarību \(V(x).\) |
1 punkts | Aprēķina funkcijas atvasinājumu. |
1 punkts | Nosaka funkcijas kritiskos punktus. |
2 punkti | Pamato maksimuma punktu un aprēķina funkcijas maksimālo vērtību. |
1 punkts | Izdara secinājumu par / nosaka definīcijas apgabalu. |
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
VISC prezentācija (Aivars Ančupāns) 2022. nov.