Matemātika II - jauna mācību tēma
"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"
Piemērs:
Kartona lapas izmēri ir \(8\)dm un \(5\)dm. Izgriežot stūros vienādus kvadrātus un apmales atlokot, jāizveido kastīte ar vislielāko tilpumu. Sastādi funkcionālo sakarību \(V(x)\), kur \(V\) - kastītes tilpums un \(x\) - izgriezta kvadrāta malas garums.
Aprēķini kastītes maksimālo tilpumu, izmantojot atvasinājumu!
Risinājums
\(x\) ... tik dm ir kastes augstums,
\(8-2x\) ... tik dm ir kastes garums,
\(5-2x\) ... tik dm ir kastes platums.
 
kaste1.png
 
Uzraksta tilpumu:
V(x)=82x52xxV(x)=40x26x2+4x3
 
Nosaka definīcijas apgabalu. Kastes, augstums, garums un platums ir pozitīvi skaitļi:
82x>052x>0x>0x<4x<2,5x>0x0;2,5
 
Atrod funkcijas kritiskos punktus.
1) Atvasina tilpuma funkciju:
 
V(x)=40x26x2+4x3==40262x+433x2==4052x+12x2
 
2) Atvasinājumu pielīdzina nullei:
 
V(x)=04052x+12x2=012x252x+40=0|:43x213x+10=0x1=1;x2=313
 
Nosaka ekstrēmus definīcijas apgabalā:
 
\(x\)
;1
1;313
313;+
V(x)
\(+\)
\(-\)
\(+\)
\(V(x)\)
aug
dilst
aug
 
Secinām, ka \(x=1\) ir maksimuma punkts. Funkcija ir nepārtraukta, tāpēc tai intervālā \((0;2,5)\) ir tikai viens ekstrēma punkts - maksimuma punkts. Tātad funkcijai \(V(x)\) šajā punktā ir vislielākā vērtība.
Aprēķinām lielāko vērtību:
\(V(1) = 40-26+4=18\) (dm3)
 
Atbilde: Funkcionālā sakarība V(x)=40x26x2+4x3, maksimālais tilpums ir \(18\)dm3.
 
VISC piedāvātie vērtēšanas kritēriji eksāmenā 
 
1 punkts Iegūst funkcionālo sakarību \(V(x).\)
1 punkts Aprēķina funkcijas atvasinājumu.
1 punkts Nosaka funkcijas kritiskos punktus.
2 punkti Pamato maksimuma punktu un aprēķina funkcijas maksimālo vērtību.
1 punkts Izdara secinājumu par x>313 / nosaka definīcijas apgabalu.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
VISC prezentācija (Aivars Ančupāns) 2022. nov.