Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Aplūkosim ekstrēma uzdevumu. Izmanto pirmo un otro atvasinājumu.
Piemērs:
Dota regulāra trijstūra prizma, kuras tilpums ir \(V\). Kādam jābūt pamata malas garumam, lai prizmas virsmas laukums būtu vismazākais?
Risinājums
  
trijstūra prizma.svg
\(x\) … pamata malas garums.
 
No tilpuma formulas izsaka augstumu \(H\):
V=SΔHH=VSΔSΔ=x234H=Vx234=4Vx23=4V33x2
 
Uzraksta pilnas virsmas laukuma izteiksmi.
Sānu virsmu veido trīs taisnstūri, kuriem viena mala ir \(x\) un otra mala ir augstums \(H\).
 
Sp.v.=2SΔ+3Staisn.Sp.v.=2x234+3x4V33x2Sp.v.=x232+4V3x
 
Iegūta pilnas virsmas laukuma funkcija, kas atkarīga no malas garuma \(x\).
 
Atvasina virsmas laukuma funkciju:
 
Sx=x232+4V3xSx=2x32+4V31xSx=x3+4V31x2Sx=x34V3x2
 
Aprēķina kritisko punktu:
x34V3x2=03x4Vx2=0x4Vx2=0x1=4Vx2x3=4Vx=4V3
 
Noskaidrosim, vai iegūtais kritiskais punkts ir minimuma punkts.
Šajā gadījumā grūti pārbaudīt atvasinātās funkcijas zīmes definīcijas apgabala intervālos. Tāpēc var izmantot teorēmu par otro atvasinājumu:
Ja  kritiskajā punktā funkcijas otrā atvasinājuma vērtība ir pozitīva, tad tas ir minimuma punkts.
Sx=x34V3x2=34V31x2=3+24V3x3>0
 
1x2=x2=2x3=2x3
 
Tā kā visas konstantes un \(x\) ir pozitīvi skaitļi, var secināt, ka otrā atvasinājuma vērtība ir pozitīva jebkuram malas garumam \(x\).
Tātad iegūtais kritiskais punkts ir minimuma punkts, kurā prizmas virsmas laukums pie dotā tilpuma sasniedz vismazāko vērtību.
 
Atbilde: Lai prizmas virsmas laukums būtu vismazākais, pamata malas garumam jābūt 4V3.
  
Atsauce:
Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa