Pierāda lodes tilpuma formulu — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi lodes tilpuma aprēķināšanas formulu, izmantojot noteikto integrāli.

Pierādījums

Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas \(f(x)\) grafikam intervālā \([a;b]\) rotējot ap asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu:

V_{x} = {π \int}_{a}^{b} {(i)}^{2} dx

. Jāuzzina funkcija.

Novietosim puslodi tā, kā parādīts zīmējumā, lai lodes centrs sakrīt ar koordinātu sākumpunktu.

Riņķa līnijas vienādojums

x^{2} + y^{2} = R^{2}

Tā kā ap \(Ox\) asi rotē augšējais loks, mums nepieciešama tikai augšējā loka (sarkanā krāsā) funkcija.

Ar noteikto integrāli iegūsim puslodes tilpumu.

Savieto pareizā secībā pareizās izteiksmes!

Atbilžu varianti:

π R^{2} {x|}_{0}^{R} - π {\frac{x^{3}}{3}|}_{0}^{R}

π (R^{2} \int_{0}^{R} dx - \int_{0}^{R} x^{2} dx)

π R^{3} - π \frac{R^{3}}{2}

π \int_{0}^{R} {(\sqrt{R^{2} - x^{2}})}^{2} dx

π \int_{0}^{R} (R^{2} - x^{2}) dx

\frac{2}{3} {π R}^{3}

π (R^{3} - \frac{R^{3}}{3})

Puslodes tilpums ir:

Tā kā mēs aprēķinājām puslodes tilpumu, tātad, lai iegūtu lodes tilpumu, rezultāts jāreizina ar \(2\).

Lodes tilpums ir

\frac{i}{i} π R^{3}

Tas bija jāpierāda.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

9. Pierāda lodes tilpuma formulu