Pierāda konusa tilpuma formulu — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi konusa tilpuma formulu, ja konusa augstumu ar $H$ un rādiusu ar $R$.

Pierādījums

Konusa tilpuma aprēķināšanas formula ir

V = \frac{1}{3} π R^{2} H

, pierādīsim to.

Novelkam koordinātu asis tā, lai koordinātu sākumpunkts sakrīt ar konusa virsotni un tā augstums atrodas uz ass.

Ja rotācijas ķermenis rodas, funkcijas $f(x)$ grafikam intervālā $[a;b]$ rotējot ap asi, tā tilpumu aprēķina ar formulu...

Izvēlies pareizo formulu!

Lai uzzinātu, kas ir funkcija $f(x) $, jāatrod konusa veidules vienādojums.

Meklējam vienādojumu taisnei, kas vilkta caur koordinātu sākumpunktu. Zinām, ka taisnes virziena koeficients ir tangenss leņķim

α

, ko taisne veido ar ass pozitīvo virzienu.

Pēc sakarībām taisnleņķa trijstūrī

tg α = \frac{R}{i}

Tātad

f (x) = \frac{R}{i} \cdot x

Atrodam konusa tilpumu ar noteikto integrāli.

Savieto pierādījumu ar pareizām izteiksmēm pareizā secībā!

V = π \int_{0}^{H} {(\frac{R}{i} x)}^{2} dx =

Atbilžu varianti:

= π \cdot \frac{R^{2}}{H^{2}} \int_{0}^{H} x^{2} dx =

\frac{π R^{2}}{H^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{6}| \begin{array}{l} H \\ 0 \end{array}

= \frac{π R^{2}}{H^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{3}| \begin{array}{l} H \\ 0 \end{array} =

= \frac{π R^{2}}{H^{2}} \cdot (\frac{H^{3}}{3} - 0) =

= π \cdot \frac{R}{H} \int_{0}^{H} x^{2} dx =

= \frac{π R^{2} H}{3}

Tas bija jāpierāda.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Idejas autors Toms Akmens, Tukuma Raiņa ģimnāzijas matemātikas un fizikas skolotājs, Skola2030 eksperts

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

8. Pierāda konusa tilpuma formulu