Laukumu attiecība. Integrālis — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Eksāmena parauguzdevums.

Piemērs:

Kādā attiecībā parabola $y = x^{2} + 1$ sadala trapeces laukumu, ja trapeces virsotnes ir $A(-4;0), B(-2;5), C(2;5), D(4;0).$

Risinājums

1) Konstruē parabolu un atliek trapeces punktus.

YCUZD_221206_4784_trapece_un_integrālis (1).svg

Aprēķina

S_{1}

. Ievēro, ka no augšas laukumu ierobežo taisne $y=5$. Figūra ir simetriska, tāpēc vienkāršākiem aprēķiniem noteiktā integrāļa apakšējo robežu var izvēlēties $0$ un laukumu reizināt ar skaitli $2. $

Skat formulu lapā

Plaknes figūras laukums starp divām līknēm:

\begin{array}{l} S_{1} = 2 \cdot \int_{0}^{2} (5 - (x^{2} + 1)) dx = \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) dx = \\ = 2 \cdot {(4 x - \frac{x^{3}}{3})|}_{0}^{2} = \\ = 2 \cdot (4 \cdot 2 - \frac{8}{3}) - 0 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \end{array}

Trapeces laukums: pamatu pussumma reizināta ar trapeces augstumu:

S (ABCD) = \frac{4 + 8}{2} \cdot 5 = 30

S_{2} = 30 - \frac{32}{3} = \frac{90}{3} - \frac{32}{3} = \frac{58}{3}

Laukumu attiecība:

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{32}{3}}{\frac{58}{3}} = \frac{32}{58} = \frac{16}{29}

VISC piedāvātie vērtēšanas kritēriji eksāmenā

1 punkts	Izveido uzdevuma nosacījumiem atbilstošu zīmējumu
2 punkti	Aprēķina trapeces laukuma daļu starp trapeces augšējo pamatu un parabolu.
2 punkti	Aprēķina trapeces daļu laukumu attiecību.
ir/nav	Korekti lieto integrāļa simbolisko pierakstu