Kombināciju skaita īpašības — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Ja dota \(n\) elementu kopa un no tās izvēlas nesakārtotas (secība nav svarīga) \(k\) elementu izlases, kurās visi elementi ir dažādi (\(\)

k \leq n

\(\)), tad saka, ka rēķina kombinācijas un kombināciju skaitu apzīmē ar

C_{n}^{k}

Kombināciju skaitu aprēķina pēc formulas

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Kombināciju skaita īpašības

1. īpašība. Jebkurām \(n\) un \(k\) vērtībām

(0 \leq k \leq n)

ir pareiza vienādība

C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}

Pierādījums

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

C_{n}^{n - k} = \frac{n!}{(n - k)! (n - (n - k))!} = \frac{n!}{(n - k)! k!}

No kurienes

C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}

Piemēram,

\begin{array}{l} C_{5}^{2} = C_{5}^{3} \\ C_{100}^{2} = C_{100}^{98} \end{array}

Ja doti \(100\) objekti un izvēlas \(98\) no tiem, neievērojot secību, tad izlašu skaits ir vienāds ar izlašu skaitu, ja no \(100\) objektiem ir jāizvēlas \(2\) objektus.

2. īpašība. Kombināciju skaitam ir spēkā īpašība:

C_{n + 1}^{k} = C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k}, (1 \leq k \leq n)

Pierādījums

C_{n + 1}^{k} = \frac{(n + 1)!}{k! ((n + 1) - k)!} = \frac{(n + 1)!}{k! (n - k + 1)!}

\begin{array}{l} C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = \\ = \frac{n!}{(k - 1)! (n - (k - 1))!} + \frac{n!}{k! (n - k)!} = \\ = \frac{{n!}^{(\cdot k}}{(k - 1)! (n - k + 1)!} + \frac{{n!}^{(\cdot (n - k + 1)}}{k! (n - k)!} = ... \end{array}

Ievēro, ka pirmajam saskaitāmajam liek papildreizinātāju \(k\), jo ir zināms, ka

\begin{array}{l} k \cdot (k - 1)! = k! \\ 4 \cdot 3! = 4! \end{array}

\begin{array}{l} ... = \frac{n! k + n! (n - k + 1)}{k! (n - k + 1)!} = \frac{n! (\underline{k} + n - \underline{k} + 1)}{k! (n - k + 1)!} = \\ = \frac{n! (n + 1)}{k! (n - k + 1)!} = \\ = \frac{(n + 1)!}{k! (n - k + 1)!} \end{array}

Skaitītāja pārveidojums:

\begin{array}{l} n! \cdot (n + 1) = (n + 1)! \\ 8! \cdot 9 = 9 \cdot 8! = 9! \end{array}

Pierādījām, ka

C_{n + 1}^{k} = C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k}

Piemēram,

C_{3}^{1} = C_{2}^{0} + C_{2}^{1}; C_{4}^{2} = C_{3}^{1} + C_{3}^{2}

2. īpašība būs pieejama matemātika II formulu lapā.

3. īpašība. Jebkurai pieļaujamai \(n\) vērtībai ir spēkā arī

C_{n}^{0} = 1 C_{n}^{n} = 1

Ievēro, ka matemātikā ir pieņemts, ka

0! = 1

Izmantojot šīs kombināciju īpašības, var izveidot Paskāla trijstūri.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

3. Kombināciju skaita īpašības

Teorija