Atkārtojums. Kombinācijas jēdziens — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Par kombinācijām no \(n\) elementiem pa \(k\) elementiem (

k \leq n

) sauc nesakārtotu dotās kopas \(k\) elementu izlasi.

Kombināciju skaitu apzīmē ar

C_{n}^{k}

(lasa: kombinācijas no \(n\) pa \(k\)).

Kombinācijas aprēķina pēc formulas

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Aplūkosim piemēru, ja kopa sastāv no trim elementiem:

1. Cik veidos var izvēlēties divus no elementiem, ja nav svarīga secība?

To var izdarīt \(3\) veidos -

;

, pēc formulas:

C_{3}^{2} = \frac{3!}{2! \cdot (3 - 2)!} = \frac{3 \cdot 2!}{2! \cdot 1!} = 3

2. Cik veidos var izvēlēties vienu no elementiem, ja nav svarīga secība?

Arī to var izdarīt \(3\) veidos -

;

, pēc formulas:

C_{3}^{1} = \frac{3!}{1! \cdot (3 - 1)!} = \frac{3 \cdot 2!}{1! \cdot 2!} = 3

Piemērs:

Cik veidos no \(12\) skolēniem var izvēlēties \(3\) skolēnus?

Risinājums:

Tā kā secība, kādā skolēni tiek izvēlēti nav svarīga, tad meklējamais skaits ir kombinācijas no \(12\) elementiem pa \(3\) elementiem, t.i., \(n = 12\) un \(k = 3\).

\begin{array}{l} C_{12}^{3} = \frac{12!}{3! (12 - 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \\ = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{3! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \\ = \frac{1320}{6} = 220 \end{array}

Atbilde: No \(12\) skolēniem \(3\) skolēnus var izvēlēties \(220\) dažādos veidos!

Piemērs:

No \(9\) cilvēkiem (\(5\) sievietēm un \(4\) vīriešiem) komandas sastādīšanai ir jāizvēlas \(3\) sievietes un \(2\) vīriešus. Cik veidos var sastādīt šādu komandu?

Risinājums:

Tā kā, ievēloties cilvēkus, nav svarīga secība, kādā šie cilvēki tiek izvēlēti, tad nosaka skaitu, cik veidos no \(5\) sievietēm var izvēlēties trīs un cik veidos no \(4\) vīriešiem var izvēlēties divus.

Kombināciju skaits sievietēm (\(n = 5\) un \(k = 3\))

C_{5}^{3} = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10

Kombināciju skaits vīriešiem (\(n = 4\) un \(k= 2\))

C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4}{2! \cdot 2!} = \frac{12}{2} = 6

Tā kā izvēlas sievietes un vīriešus, tad lieto reizināšanas likumu:

C_{5}^{3} \cdot C_{4}^{2} = 10 \cdot 6 = 60

Atbilde: Komandu (\(3\) sievietes un \(2\) vīrieši) var izvēlēties \(60\) dažādos veidos.

Piemērs:

Četriem domino spēlētājiem vienādi jāsadala \(28\) kauliņus. Cik veidos var sadalīt domino kauliņus?

Risinājums:

Var secināt, ka katrs spēlētājs saņems \(7\) kauliņus.

Pirmajam spēlētājam kauliņus var iedalīt

C_{28}^{7}

veidos.

Otrajam spēlētājam -

C_{21}^{7}

veidos.

Trešajam spēlētājam -

C_{14}^{7}

veidos.

Ceturtajam spēlētājam -

C_{7}^{7} = 1

veidā.

Tā kā kauliņus saņem gan pirmais, gan otrais, gan trešais un ceturtais spēlētājs, tad lieto reizināšanas likumu.

Atbilde: Pavisam kauliņus var iedalīt

C_{28}^{7} \cdot C_{21}^{7} \cdot C_{14}^{7} \cdot C_{7}^{7}

veidos.

Kombināciju, variāciju un permutāciju skaita saistība

Kombinācijas no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem iegūst, ja no variācijām, kas izveidotas no \(n\) elementiem pa \(m\) elementiem, izslēdz tās izlases, kuras atšķiras tikai ar elementu kārtību.

C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{P_{m}}

Noskaties video:

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

2. Atkārtojums. Kombinācijas jēdziens

Teorija